Nuestros investigadores estrellas agotaron sus reservas de café, en su búsqueda todo el tiempo por la respuesta, hasta que Fernando encontró la contestación en Bitbucket así que ahora la compartimos con nosotros.
Solución:
El rayo, al cruzarse con el cardioide, debe ser ortogonal al plano de incidencia. Da la casualidad de que la derivada de la ecuación de cardiod, como se indica en su pregunta, da la pendiente del plano de incidencia en ese ángulo en particular y $ m veces frac dy dx = -1 $ ¡según sea necesario!
Pero, ¿no debería la derivada de la ecuación de cardiod dar la pendiente de la recta tangente? Bueno, lo hace … para ver esta supuesta discrepancia, tenemos que evaluar cuidadosamente el modelo que estamos usando.
Apéndice: ¡No dejes de leer esta respuesta! Vea también la respuesta de Robjohn. Porque hay un key pregunta que no hago: Vemos cáustico en la taza de café, pero ¿qué cáustico estamos viendo?
Pasemos ahora al análisis.
Fijemos nuestra fuente puntual de luz a la derecha del círculo, como en el diagrama de abajo en $ P $. Físicamente, $ P $ es donde se enfoca su rayo entrante, exterior al anillo. Cambiar la ubicación de la fuente puntual interrumpiría el cardioide y produciría alguna otra envolvente. Mantener la fuente puntual en la circunferencia mantendría la envoltura de rayos en forma de cardioide; en respuesta a su comentario, creo que eso es lo que se quiere decir con “el catacáustico de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es un cardioide”.
(Fuente de la imagen).
Tu primera ecuación
$$ m ( phi) = sin 2 phi- sin phi over cos 2 phi- cos phi $$
es la pendiente de la trayectoria del rayo reflejado. El ángulo $ phi $ se mide desde un sistema de coordenadas en el centro del círculo, medido en sentido antihorario desde el punto positivo $ x $-eje. Esto es conveniente, ya que la ley de la reflexión ciertamente dará $ (r, phi) a (r, 2 phi) $.
Ahora hagamos coincidir el cardiod en el diagrama. Se parece a algo$$ r = a ( cos theta -1) $$
Esta curva es un poco diferente a la tuya, debido a cómo estamos definiendo $ theta $. De todos modos, no lo sabemos $ a $. No es una unidad de longitud si nuestro círculo es un círculo unitario. Mira aquí. Verifique los gráficos vinculados y probablemente notará que el círculo no está colocado correctamente. Esto es porque $ theta $ no se mide desde el centro del círculo, sino desde la cúspide del cardiode. Estamos usando dos sistemas de coordenadas. Independientemente, podemos comparar pendientes en los dos sistemas ya que son traslaciones. Todavía tenemos
$$ begin align * frac dy dx ( theta) = frac dy / d theta dx / d theta & = frac r ‘ sin theta + r cos theta r ‘ cos theta – r sin theta \ \ & = frac -a sin ^ 2 theta + a cos ^ 2 theta- a cos theta – a sin theta cos theta – a cos theta sin theta + sin theta \ \ & = – frac cos 2 theta- cos theta sin 2 theta – sin theta \ \ & = – frac 1 m ( theta) end align * $$
Como referencia, marqué un rayo de muestra en amarillo. Se refleja en $ phi = frac pi 2 $ y la parte reflejada tiene pendiente $ m ( frac pi 2) = 1 $. Ahora bien, sin probarlo, sí parece que en $ theta = phi $, el rayo reflejado y la tangente tienen pendientes paralelas. Limpio. Pero, ¿por qué las fórmulas no dan este resultado? Por que $ frac dy dx ( frac pi 2) = -1 $ para nuestro rayo? Este es el recíproco negativo.
Recuerda que el cardiod tiene fórmula $ r = a ( cos theta -1) $. Examinemos cómo se mapea uno de estos puntos. A $ theta = frac pi 2 $, tenemos $ r = -a $. ¡Este punto está en el lado opuesto del cardiod! La pendiente de esta tangente dada por la derivada es en realidad la de la línea rosa de abajo.
Curiosamente, la tangente rosa en el lado opuesto del cardioide parece ser perpendicular al rayo reflejado en sí. Es decir, es paralelo al plano de incidencia.
Gracias por la genial pregunta.
Luz del infinito
Lo más probable es que la luz provenga de una distancia grande en la escala de la taza. Por lo tanto, consideraremos que los rayos entrantes son paralelos. Si es así, el cáustico de la taza de café es una nefroide.
Considere el siguiente diagrama
El rayo reflejado en el punto $ (- cos ( theta), sin ( theta)) $ es $$ frac y- sin ( theta) x + cos ( theta) = – tan (2 theta) tag 1 $$ que es $$ x sin (2 theta) + y cos (2 theta) = – sin ( theta) tag 2 $$ Aquí hay una gráfica de los rayos reflejados de $ (2) $ generados por rayos entrantes paralelos distribuidos uniformemente
Tomando la derivada de $ (2) $ con respecto a $ theta $: $$ 2x cos (2 theta) -2y sin (2 theta) = – cos ( theta) tag 3 $ $ Resolver $ (2) $ y $ (3) $ simultáneamente da la envolvente de la familia de líneas en $ (1) $: $$ begin align begin bmatrix x \ y end bmatrix & = begin bmatrix cos (2 theta) & – sin (2 theta) \ sin (2 theta) & cos (2 theta) end bmatrix ^ – 1 begin bmatrix – frac12 cos ( theta) \ – sin ( theta) end bmatrix \[6pt]
& = frac14 begin bmatrix cos (3 theta) -3 cos ( theta) \ 3 sin ( theta) – sin (3 theta) end bmatrix tag 4 end align $$ La curva de $ (4) $ se agrega en rojo
La ecuación $ (4) $ describe una nefroide.
Luz de un punto en el círculo
Como se menciona en un comentario que un cardoide está formado por luz proveniente de un punto en el borde de la copa, haremos el mismo cálculo con la luz de un punto en el círculo.
Considere el siguiente diagrama
El rayo reflejado en el punto $ (- cos ( theta), sin ( theta)) $ es $$ frac y- sin ( theta) x + cos ( theta) = – tan left ( frac 3 theta 2 right) tag 5 $$ que es $$ y (1+ cos (3 theta)) + x sin (3 theta) = sin ( theta) – sin (2 theta) tag 6 $$ Aquí hay una gráfica de los rayos reflejados desde $ (6) $ reflejados en puntos uniformemente espaciados en el círculo
Tomando la derivada de $ (6) $ con respecto a $ theta $: $$ -3y ( sin (3 theta)) + 3x cos (3 theta) = cos ( theta) -2 cos (2 theta) tag 7 $$ Resolver $ (6) $ y $ (7) $ simultáneamente da el sobre de la familia de líneas en $ (5) $: $$ begin align begin bmatrix x \ y end bmatrix & = begin bmatrix cos (3 theta) & – sin (3 theta) \ sin (3 theta) & 1 + cos (3 theta ) end bmatrix ^ – 1 begin bmatrix frac13 cos ( theta) – frac23 cos (2 theta) \ sin ( theta) – sin (2 theta) end bmatrix \[6pt]
& = frac13 begin bmatrix cos (2 theta) -2 cos ( theta) \ 2 sin ( theta) – sin (2 theta) end bmatrix tag 8 end align $$ La curva de $ (8) $ se agrega en rojo
La ecuación $ (8) $ describe un cardoide.
Como les prometí en los comentarios, aquí hay tres valores distintos para $ a $ y $ b $ en la ecuación $ r = a + b cos theta $. Puede ver diferentes curvas, sin embargo, la ecuación es similar.
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