Solución:
Esto depende de si asumimos el axioma de elección.
En presencia de elección, entonces sí, $ vert X ^ 2 vert = vert X vert $ para todos los $ X $ infinitos. Esto lo demostró Zermelo.
Sin embargo, si la elección falla, es posible que este ya no sea el caso: por ejemplo, es consistente con ZF que hay un conjunto $ X $ que es infinito pero que no se puede dividir en dos conjuntos infinitos. Dado que (ejercicio) si $ X $ es infinito, entonces $ X ^ 2 $ se puede dividir en dos conjuntos infinitos, esto significa que tal $ X $ (llamado amorfo) es un contraejemplo de la regla.
De hecho, esto sucederá cuando sea la elección falla: el principio “$ vert X ^ 2 vert = vert X vert $ para todo infinito $ X $” ¡es exactamente equivalente al axioma de elección! Consulte Para cada $ S $ infinito, $ | S | = | S times S | $ implica el axioma de elección.
Una forma de probar esto es mostrar primero que $ kappa + mu = max { kappa, mu } $ cuando $ κ $ o $ μ $ son cardinales infinitos. Esto se asume en la siguiente prueba.
Busqué en la web este enfoque y lo encontré aquí: el teorema B3 en el apéndice combina ambos, mostrando primero que $ kappa + mu = max { kappa, mu } $ y luego que $ kappa times mu = max { kappa, mu } $.
Comenzamos con un lema.
Lema 1: Sea $ B $ un subconjunto de un conjunto infinito $ A $ y $ f: B to B times B $ una función sobreyectiva. Entonces $ | B | le | B veces B | le | B | le | A | $. Además, si $ | B | $ es de hecho menor que $ | A | $, entonces $ f $ puede extenderse a una función sobreyectiva $ D a D veces D $, con $ B $ un subconjunto adecuado de $ D $ .
Prueba: Para la primera parte, aplique la teoría de cardinalidad elemental. Para la segunda parte, podemos encontrar un conjunto infinito $ U $ que es disjunto de $ B $, de modo que $ | U | = | B | $; también tenemos la identidad
$ etiqueta 1 (B taza U) veces (B taza U) = (B veces B) taza (B veces U) taza (U veces B) taza (U veces U) $
una unión disjunta de cuatro piezas, todas con una cardinalidad de $ | B | $.
La función $ f $ se encarga de la primera pieza, y un argumento de cardinalidad nos permite cubrir de forma sobreyectiva las tres piezas restantes con una función que opera en el conjunto $ U $ como dominio. Entonces podemos extender $ f $ a $ D = B cup U $. $ quad blacksquare $
Ahora estamos listos para demostrar el resultado principal:
Proposición 2: Para cualquier conjunto infinito $ A $,
$ etiqueta 2 | A veces A | = | A | $
Prueba
Solo tenemos que mostrar que $ | A | ge | A veces A | $.
Considere la colección de todos $ (B, phi) $ donde $ B subseteq A $ y $ phi: B to B times B $ es una sobreyección. Esta colección no está vacía ya que hay una sobreyección $ mathbb N a mathbb N times mathbb N $.
Esta colección se puede ordenar parcialmente por $ (B, phi) <(C, psi) $ si $ B subseteq C $ y $ psi | _B = phi $. Cada cadena tiene un límite superior; simplemente tome la unión de las gráficas de las funciones en la cadena, definiendo una función sobreyectiva $ D a D veces D $.
Según el lema de Zorn, hay un elemento máximo $ ( hat B, hat phi) $. Por el lema 1, podemos proceder bajo el supuesto de que $ | B | lt | A | $, ya que de lo contrario podemos usar $ hat phi $ para establecer (2). Pero entonces el lema 1 también proporciona una extensión sobreyectiva de $ hat phi $, contradiciendo que $ ( hat B, hat phi) $ era un elemento máximo, es decir, no se puede encontrar tal extensión. $ quad blacksquare $
Se llegó a esta prueba ‘levantando’ la prueba de que $ | A times mathbb N | = | A | $, encontrado aquí.
En general, se necesita casi toda la potencia de ZFC (incluido el axioma de elección) para demostrar que $ # (S times S) = # (S) $ para $ S $ infinitos. $ Def pow { mathcal {P}} $ Sin embargo, se puede probar sin el axioma de elección que para cualquier $ S $ tal que $ # (S times S) = # (S) $, también tenemos $ def pow { mathcal {P}} $ $ # ( pow (S) times pow (S)) = # ( pow (S)) $. Esto significa que ni siquiera necesitamos AC para la cardinalidad de todos los conjuntos ordinarios que podría encontrar en situaciones relevantes para el mundo real, ya que se puede demostrar fácilmente que $ def nn { mathbb {N}} $ $ # ( nn veces nn) = # ( nn) $.