Solución:
La respuesta correcta son las funciones de $ mathbb R $ a $ {0,1 } $, los cálculos y comparaciones se dan aquí:
- $ mathbb R = 2 ^ { aleph_0} $.
- Todas las funciones desde $ mathbb Z $ a $ mathbb Z $ son iguales que $ mathbb N $ a $ mathbb N $, que es $ 2 ^ { aleph_0} le aleph_0 ^ { aleph_0} le 2 ^ { aleph_0 times aleph_0} = 2 ^ { aleph_0} $.
- Las funciones de $ mathbb R $ a $ {0,1 } $ son básicamente funciones características para subconjuntos de $ mathbb R $, es decir, es lo mismo que $ | mathcal P ( mathbb R) | $ que es de cardinalidad $ 2 ^ {2 ^ { aleph_0}} $ (según el teorema de Cantor).
- Todos los subconjuntos finitos de $ mathbb R $ son como mucho todas las secuencias finitas de $ mathbb R $, que es $ bigcup_ {n in mathbb N} mathbb R ^ n $, que es de cardinalidad al menos $ mathbb R $, y solo la otra mano $ le mathbb R ^ { mathbb N} = 2 ^ { aleph_0} $, por lo que es de cardinalidad del continuo.
- Por el mismo argumento que (4), el conjunto de polinomios es de cardinalidad continua (identifique un polinomio con una secuencia finita de sus coeficientes, y la colección de secuencias finitas es al menos la cardinalidad de todos los conjuntos finitos).
En particular, significa que el conjunto de funciones desde $ mathbb R $ a $ {0,1 } $ es el más grande y, de hecho, es el único que no es de cardinalidad continua.
Tiene razón al pensar que la cardinalidad de las funciones de $ mathbb {Z} $ a $ mathbb {Z} $ es $ aleph_0 ^ { aleph_0} $. Para calcular esto, observe que $ 2 ^ { aleph_0} leq aleph_0 ^ { aleph_0} leq (2 ^ { aleph_0}) ^ { aleph_0} = 2 ^ { aleph_0 cdot aleph_0} = 2 ^ { aleph_0} $. Ahora, usando el teorema de Cantor-Bernstein, obtienes que $ aleph_0 ^ { aleph_0} = 2 ^ { aleph_0} $.
De hecho, E y D tienen la misma cardinalidad. Los subconjuntos finitos de $ mathbb {R} $ son exactamente tantos como los números reales. Esto se debe a que $ | mathbb {R} times mathbb {R} | = | mathbb {R} | $ y por lo tanto (por inducción) para cada número natural $ n $ tenemos ese $ | mathbb {R} ^ n | = | mathbb {R} | $. Dado que el conjunto de subconjuntos finitos de $ mathbb {R} $ es $ bigcup_ {n < omega} mathbb {R} ^ n $, tenemos que la cardinalidad que estamos buscando es $ sum_ {n < omega} {| mathbb {R} ^ n |} = sum_ {n < omega} {| mathbb {R} |} $. La cardinalidad de esto es $ aleph_0 cdot 2 ^ { aleph_0} = 2 ^ { aleph_0} $.