Este dilema se puede tratar de diferentes maneras, sin embargo te dejamos la que en nuestra opinión es la resolución más completa.
Solución:
Para la implicación inversa, vea esta respuesta.
Tenga en cuenta que no se requiere ortogonalidad para un marco de Parseval.
Asumir que $|f|^2=sum_j|langle f,e_jrangle|^2$ para todos $f$. Dado $m>n$,
beginalign Big|sum_j=1^mlangle f,e_jrangle,e_j-sum_j=1^nlangle f,e_jrangle e_jBig| ^2 &=Grande|sum_j=n+1^mlangle f,e_jrangle e_jGrande|^2\[0.3cm]
&=supBigh\[0.3cm]
&=supBig =1Grande\[0.3cm]
&leqsupGrande\sum_j=n+1^m\[0.3cm]
&leqbigg(sum_j=n+1^m|langle f,e_jrangle|^2bigg)^1/2 supBig=1Big\[0.3cm]
&leqbigg(sum_j=n+1^m|langle f,e_jrangle|^2bigg)^1/2 supBigh\[0.3cm]
&=bigg(sum_j=n+1^m|langle f,e_jrangle|^2bigg)^1/2. endalinear
la convergencia de $sum_j|langle f,e_jrangle|^2$ garantiza que la última serie puede hacerse arbitrariamente pequeña si $m$ y $n$ son lo suficientemente grandes. Asi que
$$ sum_jlangle f,e_jrangle e_j $$
existe Ahora tenemos que demostrar que es igual $f$. Necesitaremos la Identidad de Polarización
$$ langle f,grangle=tfrac14,sum_k=0^3i^k|f+i^kg|^2, $$
y también el caso particular a los números complejos,
$$ zoverline w=tfrac14,sum_k=0^3i^k|z+i^kw|^2. $$
Tenemos
beginalign langle f,grangle&=tfrac14,sum_k=0^3i^k|f+i^kg|^2 =tfrac14,sum_k=0 ^3i^ksum_j|langle f+i^kg,e_jrangle|^2\[0.3cm]
&=sum_jtfrac14,sum_k=0^3i^k|langle f,e_jrangle+i^klangle g,e_jrangle|^2\[0.3cm]
&=sum_jlangle f,e_jranglelangle e_j,grangle. endalinear
Después
beginalign Biglangle f-sum_jlangle f,e_jrangle e_j,gBigrangle &=langle f,grangle-sum_jlangle f,e_jranglelangle e_j, grango=0. endalinear
Como esto se puede hacer para cualquier $g$resulta que
$$ f=sum_jlangle f,e_jrangle e_j. $$
Aquí tienes las reseñas y valoraciones
Nos puedes añadir valor a nuestro contenido informacional tributando tu experiencia en las críticas.