Solución:
Es simplemente una declaración sobre el orden máximo aditivo de algo en el anillo.
Los cocientes de $ Bbb Z $ son una fuente natural de anillos con diferentes características, por supuesto.
La analogía más física que me viene a la mente es la aritmética modular. Si está familiarizado con algún tipo de comportamiento cíclico que se repite después de un número finito de pasos, puede ver la característica del anillo como un “período” del comportamiento cíclico.
La elección de $ 0 $ para representar el caso cuando no hay un período finito es puramente convencional. Consulte también ¿Por qué “característica cero” y no “característica infinita”?
Estoy completamente de acuerdo con la respuesta anterior y me gustaría agregarle un poco más.
Los anillos más familiares para nosotros son $ mathbb {Z}, mathbb {Q} $ y $ mathbb {Z} / n mathbb {Z} $ y una vez derivado de ellos (anillos de función, anillos polinomiales, anillos de matriz, etc.). No es difícil ver que todos estos están conectados de alguna manera (o se obtienen de) $ mathbb {Z}. $ Podemos hacer esta comparación matemáticamente precisa al observar que para cualquier anillo $ R $ (con unidad) hay un homomorfismo de anillo canónico $ varphi: mathbb {Z} a R. $
El núcleo de este mapa (los datos que perdimos durante la transformación) es un ideal de (el dominio ideal principal) $ mathbb {Z}. $ Por lo tanto, tenemos un número entero más pequeño (no negativo) que lo genera, digamos $ m $. Ésta es exactamente la característica de $ R. $
Además, por el primer teorema del isomorfismo tenemos que $$ mathbb {Z} / m mathbb {Z} cong operatorname {im} varphi, $$ que es un subanillo de $ R. $ También desde $$ m.1_R = 0 $$ el anillo $ R $ Convertirse en un $ mathbb {Z} / m mathbb {Z} $-álgebra. Un ejemplo instructivo de esto son los anillos booleanos. Además, si $ R $ es un dominio integral entonces $ m $ debe ser un número primo o cero. Entonces, este número $ m $ (característica) lleva información importante sobre el anillo $ R. $