Tenemos el hallazgo a esta incógnita, al menos eso esperamos. Si continuas con dudas coméntalo, que con gusto te ayudaremos
Solución:
Estoy asumiendo aquí que el cilindro es “infinitamente largo”, o al menos muy largo para que $h >> r$. De lo contrario, hay “efectos finales” no integrables complicados, pero no parece que esté interesado en ellos.
Como dijiste, necesitas la ley de Gauss. Sin embargo, estás perdiendo algo importante si eliminas la notación vectorial, así que la volví a agregar. $$ phi_E=int_S vecE cdot dvecA= frac Q epsilon_0 $$ La parte crítica, que ya ha hecho, es elegir una superficie en la que $E$ sea constante, de modo que la integral sea fácil de evaluar.
Debe elegir una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $L$, centrada en el eje del cilindro cargado. Aquí se muestra una ilustración de esa superficie (en verde):
Con esa elección de superficie, simplemente por simetría, el campo $E$ debe tener el mismo valor y la misma dirección relativa al vector normal $dvecA$, ¡en todas partes de la parte curva de la superficie!
En los extremos planos de tu superficie cilíndrica, el campo $E$ no es constante, pero es paralelo al vector de superficie $dvecA$, por lo que el producto escalar $vecE cdot dvec A$ es cero en esas superficies y podemos ignorarlas en la integral.
Aquí he dividido la integral en dos partes: la integral sobre la parte curva de la superficie y los extremos planos, y he evaluado ambas partes de la integral.
$$int_curva vecE cdot dvecA + int_extremos vecE cdot dvecA= frac Qepsilon_0$$ $ $int_curva E dA + 0= frac Qepsilon_0$$ $$E int_curva dA= frac Qepsilon_0$$ $$E ~A_curva = frac Qepsilon_0$$ $$E ~2 pi RL = frac Qepsilon_0$$
Observe que en la parte curva, dado que $vecE$ y $dvecA$ están en la misma dirección, su producto escalar es simplemente $E dA$, y dado que la magnitud $E$ es la misma en todas partes, podemos eliminarlo de la integral como una constante. Entonces simplemente estamos integrando $dA$, lo que simplemente nos da el área de esa parte de la superficie.
El último trabajo que tenemos es encontrar cuánta carga ($Q$) hay dentro de nuestra superficie. La densidad de carga es $sigma = fracq2 pi rh$
Hay dos casos. 1. Si $R > r$, entonces $Q = 2 pi r L sigma = q fracLh$. 2. Si $R < r$, entonces no hay carga dentro de nuestra superficie, entonces $Q = 0$.
Entonces, usando nuestra versión final de la ley de Gauss:
$$E ~2 pi RL = frac Qepsilon_0$$ $$E = fracQ2 pi epsilon_0 RL$$
Y nuestra respuesta final es:
$R
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