este problema se puede tratar de variadas maneras, pero nosotros te mostramos la que para nosotros es la respuesta más completa.
Solución:
La función de manchado (test-) no es una reliquia de la descripción matemática, sino una key ingrediente de la teoría. Citando a los padres Wightman y Streater (PCT, estadísticas y todo eso):
Se reconoció temprano en el análisis de las mediciones de campo para el campo electromagnético en la electrodinámica cuántica que, en su dependencia de un punto del espacio-tiempo, los componentes de los campos son en general más singulares que las funciones ordinarias. Esto sugiere que solo se requieren campos difuminados para producir operadores bien definidos. Por ejemplo, en el caso del campo eléctrico, $mathcalE(x,t)$ no es un operador bien definido, mientras que $int dx ~ dt ~ f(x) mathcalE(x,t) = mathcalE(f) $ es.
Otra cita proviene de BLT (Introducción a la Teoría Aximática de Campos1975):
Definimos un campo cuántico (o cuantizado) como una distribución de tensor valorada por un operador. Tal definición corresponde mejor a la situación física real que la noción más familiar de un campo como una cantidad definida en cada punto del espacio-tiempo. De hecho, en los experimentos, la intensidad del campo siempre se mide, no en un punto matemático. $x$ sino en alguna región del espacio y en un intervalo finito de tiempo. Tal medida es naturalmente descrita por el valor esperado del campo como una distribución aplicada a una función de prueba con soporte en la región de espacio-tiempo dada.
También vale la pena señalar que los campos clásicos también son distribuciones.
Me gusta pensarlo de esta manera: solo podemos medir algo con una resolución espacial finita y durante un tiempo finito. Entonces, cualquier experimento solo mide un promedio sobre una pequeña región de espacio-tiempo. esto es basicamente
$$ phi(f)=int phi(x)f(x) d^4x $$
para alguna función suave con soporte compacto $f$. Esto es básicamente lo que está haciendo la definición de distribución. Por razones técnicas (nos gustan las transformadas de Fourier), la gente prefiere la clase de Schwartz a las funciones de prueba con soporte compacto, pero dudo que haga mucha diferencia en la física.
Acuérdate de que te permitimos añadir una evaluación verdadera si diste con el resultado.