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Solución:
La conclusión es que el agua caliente pierde calor a alta temperatura, lo que genera un pequeño cambio de entropía negativo, mientras que el agua fría gana calor a baja temperatura, lo que genera un alto cambio de entropía. El cambio de entropía neto es positivo. Esto lo podemos ver explícitamente:
En cualquier instante, el cambio infinitesimal en la entropía del sistema es $$dS=fracdQ_HT_H+fracdQ_CT_C,$$ donde $dQ_H<0$ and $dQ_C>0$ son el calor intercambiado por el agua fría y caliente respectivamente. Las temperaturas correspondientes son $T_H$ y $T_C$. Como $$|dQ_H|=|dQ_C|equiv dQ>0,$$ podemos escribir $$dS=dQleft(frac1T_C-frac1T_Hright)= dQleft(fracT_H-T_CT_HT_Cright)>0.$$ En cualquier instante la temperatura del agua caliente es mayor que la temperatura del agua fría. Entonces, el $dS$ anterior siempre es positivo y el proceso es irreversible en cualquier estado intermedio.
Para obtener el cambio de entropía de un sistema que experimenta un proceso irreversible, el primer paso es olvidarse por completo del proceso irreversible real y, en su lugar, idee un proceso reversible que lleve al sistema entre los mismos estados de equilibrio inicial y final. Eso es lo que significa $dq_rev/T$. El proceso reversible que idees no tiene por qué tener ningún parecido con el proceso irreversible real. En el caso de las masas m de agua caliente y fría, el estado inicial es Th y Tc, y el estado final es (Th+Tc)/2. El proceso reversible que idearía sería separar las dos masas iniciales y luego someter cada una de ellas por separado a una secuencia continua de depósitos a temperatura constante que van desde su temperatura inicial hasta (Th+Tc)/2, dejando que el calor se transfiera con el los reservorios ocurren muy gradualmente para cada uno. El cambio de entropía para la masa caliente sería $$Delta S=mClnleft[frac(T_h+T_c)/2T_hright]$$donde C es la capacidad calorífica del agua. De manera similar, para la masa fría, $$Delta S=mClnleft[frac(T_h+T_c)/2T_cright]$$ Entonces, para el sistema combinado, $$Delta S=mClnleft[frac(T_h+T_c)^24T_hT_cright]$$ Este cambio de entropía siempre es mayor que cero.
Desde un punto de vista estrictamente basado en fórmulas, el cambio de entropía es la transferencia de calor dividida por la temperatura sobre la cual ocurre la transferencia de calor. La transferencia de calor es claramente la misma para ambos volúmenes, pero positiva para el volumen frío y negativa para el volumen caliente (el calor fluyó del volumen caliente hacia el volumen frío), pero la temperatura promedio sobre la cual ocurre es menor para el volumen frío. (pasó de frío a equilibrio) que para el volumen caliente (que pasó de caliente a equilibrio), por lo que la transferencia de calor positiva se divide por un número menor que la transferencia de calor negativa, por lo que el cambio de entropía total es positivo.
Desde el punto de vista de la mecánica estadística, claramente hay más configuraciones de las moléculas de agua que se asemejan al estado final que al estado inicial. En el estado inicial, las moléculas de diferente energía promedio están unidas en volúmenes separados, mientras que en el estado final, todas las moléculas tienen la misma energía promedio y son libres de moverse a cualquier lugar dentro del volumen total.
Intuitivamente, considere que sería extremadamente improbable que el estado final evolucionara espontáneamente al estado inicial.
Y en el sentido más general, la entropía es una medida de qué tan cerca está un sistema del equilibrio. El estado inicial no está en equilibrio y el estado final sí.
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