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Cambio de Variables — ¿es siempre un isomorfismo?

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Solución:

El concepto de “variables cambiantes” es un nombre genérico para la técnica general de reemplazar algunas variables con otras expresiones (más convenientes). No estoy seguro de haber visto alguna vez una definición rigurosa en un texto; la mayoría de las veces, cualquiera que lo esté usando explicará lo suficiente para dar pistas a los lectores sobre lo que están haciendo.

Veamos sus problemas concretos. En ambas respuestas en su publicación vinculada, los cambios específicos de variable son de la forma $$ xmapstoax+by+p$$$$ymapas a cx+dy+q$$ por $a,b,c,d,p,qin k$ y cada autor asume varios hechos que implican $ad-bcneq 0$ en cada transformación que discuten. Estas transformaciones son todas automorfismos de $k[x,y]psy podemos determinar su inversa explícita: todas esas transformaciones son de hecho “transformaciones afines” del plano $k^2$y se puede registrar en una matriz como $$beginpmatrix a & b & p \ c & d & q \ 0 & 0 & 1 endpmatrix,$$ de donde la composición de transformaciones corresponde a la multiplicación de matrices, y la inversión corresponde a invertir la matriz que representa la transformación. La inversa explícita corresponde por tanto a la transformación representada por la matriz $$beginpmatrix fracdad-bc & frac-bad-bc & fracbq-dpad-bc \ frac-c ad-bd & fracaad-bc & fraccp-aqad-bd \ 0 & 0 & 1 endpmatrix. $$


Volviendo a la imagen general, he visto el “cambio de variables” utilizado para varias equivalencias birracionales relacionadas con curvas elípticas que no son necesariamente isomorfismos. Diría que, en general, un “cambio de coordenadas” en una variedad afín significa elegir diferentes generadores para el álgebra de coordenadas; esto necesariamente será un isomorfismo. Un “cambio de coordenadas proyectivo” generalmente significa actuar por algún automorfismo de $BbbP^n$que son todos mapas lineales representados por algún elemento en $PGL(n+1)$. Entonces, la frase “cambio de coordenadas” siempre debe implicar que es un isomorfismo, mientras que “cambio de variables” puede no serlo en algunos casos.

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