Posterior a investigar con expertos en esta materia, programadores de varias áreas y profesores dimos con la respuesta al dilema y la dejamos plasmada en este post.
Solución:
Si la fuerza de arrastre se modela como una función lineal de la velocidad $(vecF_D=-bvecv)$, entonces el problema es sencillo. El balance de fuerza vertical para una gota que cae es $$Sigma F_y=mg-bv=mdotv,$$ que da la siguiente ecuación diferencial para la velocidad: $$boxeddotv+ fracbmv=g.$$ En el caso límite de velocidad máxima/aceleración cero $(dotv=0)$, el equilibrio de fuerzas se simplifica a $$mg=bv_max ,$$ o $$boxedv_max=fracmgb.$$ Volviendo a nuestra ecuación diferencial, si la velocidad inicial $v(0)=0$, entonces la solución a esta EDO es $$v(t)=fracmgbleft[1-e^-bt/mright].$$ Al definir la constante de tiempo como $tau=fracmb$ y usar la definición de la velocidad terminal, la evolución temporal de la velocidad se simplifica a $$boxedv(t)=v_ máxizquierda[1-e^-t/tauright].$$ La posición, si se desea, se encuentra fácilmente realizando otra integración: $$y(t)=intvdt=v_maxintleft(1-e^-t /tauright)dt.$$ Suponiendo que la posición inicial $y(0)=0$ y simplificando, la solución para la posición vertical es $$boxedy(t)=v_maxt +v_maxtauizquierda[e^-t/tau-1right].$$ Así que ahora tenemos soluciones analíticas para la aceleración, la velocidad y la posición del objeto que cae como una función del tiempo y los parámetros del sistema, todos los cuales son conocidos (excepto $b$). Tenga en cuenta, sin embargo, que el tiempo solicitado para alcanzar una velocidad de $0.63v_max$ no es arbitrario. Después de que haya pasado una constante de tiempo, tendremos $$fracv(tau)v_max=1-e^-1=0.63212=boxed63.212%.$$ Por lo tanto, simplemente necesitamos calcular el valor de la constante de tiempo y el valor resultante será su respuesta. En cuanto a tus compañeros, no se equivocan. Nuestro objetivo es calcular $tau$, y si observa detenidamente nuestras matemáticas anteriores, verá que $tau$ es igual a la velocidad terminal dividida por $g$. Los gráficos de octava de las funciones de posición, velocidad y aceleración se incluyen a continuación como referencia (reemplace $k$ con $b$ en el segundo gráfico).
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