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Cálculo del segundo momento de una variable aleatoria binomial

Este escrito ha sido probado por especialistas para que tengas la seguridad de la exactitud de nuestro tutorial.

Solución:

El primer término se obtiene de la siguiente manera:

beginalign sum_j=0^n fracn!(j^2-j)(nj)!j!p^j(1-p)^nj & = sum_j=2^n fracn!(j^2-j)(nj)!j!p^j(1-p)^njtag1 \&=sum_j=2^n fracn!(j(j-1))(nj)!j!p^j(1-p)^nj etiqueta2\ &= sum_j=2^n fracn!(nj)!(j-2)!p^j(1-p)^nj etiqueta3 \ &= n(n-1)sum_j=2^n frac(n-2)!(nj)!(j-2)!p^j (1-p)^nj tag4\ &= n(n-1)p^2sum_j=2^n frac(n-2)!( nj)!(j-2)!p^j-2(1-p)^nj tag5 \ &= n(n-1)p^2sum_j’= 0^n-2 frac(n-2)!(n-2-j’)!(j’)!p^j'(1-p)^n-2 -j’ etiqueta6 \ &= n(n-1)p^2 etiqueta7 \ endalinear

donde la ecuación $(1)$ se debe a $j^2-j=0$ si $j=0$ o $j=1$, por lo que podemos empezar a sumar desde $2$ en lugar de $0$.

La ecuación $(2)$ es solo $j^2-j=j(j-1)$.

La ecuación $(3)$ se debe a $j!=(j-2)!j(j-1)$

La ecuación $(4)$ se debe a $n!=(n-2)!n(n-1)$.

La ecuación $(5)$ es simplemente factorizar $p^2$ fuera.

La ecuación $(6)$ es un cambio de variable de $j’=j-2$

Para obtener la ecuación $(7)$, observe que en la ecuación $(6)$, el término dentro de la suma es la pmf de la distribución binomial con parámetro $n-2$ y $p$.

Dejaré el segundo término como ejercicio.

Distribuyeron factores constantes de la serie para que un cambio de variables la convirtiera en la serie de probabilidades para una expansión binomial $(p+1-p)^n-1$. No mostraron su trabajo, pensando que sería obvio. Claramente no lo es.

Haré uno de los términos $$ quad sum_j=0^ndfracn! j(nj)! j!p^j(1-p)^ nj \ = sum_j=0^n dfracn(n-1)!,j(n-1-j+1)!, j, (j-1)! p, p^j-1(1-p)^n-1-j+1 \ = np sum_j=0^ndfrac(n-1)! (n-1-(j-1))!,(j-1)!p^j-1(1-p)^n-1-(j-1) \ = np suma_j-1=-1^n-1binomn-1j-1p^j-1(1-p)^n-1-(j-1) \ = np sum_j-1=0^n-1binomn-1j-1p^j-1(1-p)^n-1- (j-1) \ = np sum_k=0^n-1binomn-1kp^k(1-p)^n-1-k \ = np (p+(1-p))^n-1 \ = np $$

El otro término sigue igualmente. Cabe destacar que usamos la conveniencia de que $binomr-1=0$.

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