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Cálculo del área de la astroide $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ para $a>0$ usando el teorema de Green

Te sugerimos que pruebes esta resolución en un entorno controlado antes de pasarlo a producción, saludos.

Solución:

$$x^2/3+y^2/3=a^2/3longleftrightarrow;x=acos^3t;,;;y=asen^3t ;,;;0le tle 2pi$$

Asi que

$$frac12intlimits_0^2pileft[(acos^3tcdot3asin^2tcos t)-(asin^3tcdot(-3acos^2tsin t)right]dt =$$

$$=frac3a^22intlimits_0^2pi(cos^4tsin^2t+cos^2tsin^4t)dt=frac3a^22 intlimits_0^2picos^2tsin^2t,dt=$$

$$=left.frac3a^264left(4x-sin 4xright)right|_0^2pi=frac3a^2648 pi=frac38a^2pi$$

Insinuación: Debe parametrizar $x^2/3+y^2/3=a^2/3$ para calcular la integral en el límite.

Considere que el círculo $$ x^2+y^2=a^2 $$ está parametrizado por $$ x=acos(t)qquad y=asin(t) $$ Modificando ligeramente, obtenemos que $$ x=acos^3(t)qquad y=asin^3(t) $$ parametriza $x^2/3+y^2/3=a^{2/3 ps

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