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Solución:
La función beginalign* f(z)&=frac2z-2(z+1)(z+2)\ &= frac43left( frac 1z+1right) + frac23left(frac1z-2right)\ endalign* es expandirse alrededor del centro $z=0$ en $1<|z|<2$ and $|z|>3$.
Como hay polos simples en $z=-1$ y $z=2$, tenemos que distinguir tres regiones de convergencia beginalign* D_1:&quad 0leq |z|<1\ D_2:& cuádruple 1<|z|<2\ D_3:&quad |z|>2 endalinear*
La primera región $D_1$ es un disco con centro $z=0$, radio $1$ y el polo en $z=-1$ en el límite del disco. Admite para ambas fracciones una representación como serie de potencias.
La región $D_2$ es un anillo que contiene todos los puntos fuera del cierre de $D_1$ y el cierre de $D_3$. Admite para la fracción con polo en $z=-1$ una representación como parte principal de una serie de Laurent y para la fracción con polo en $z=2$ una serie de potencias.
La región $D_3$ contiene todos los puntos fuera del disco con centro $z=0$ y radio $2$. Admite para ambas fracciones una representación como parte principal de una serie de Laurent.
Como estamos interesados en una expansión de $1<|z|<2$, consideramos la expansión en $D_2$.
Expansión en $D_2$:
beginalign* f(z)&=frac43left(frac1z+1right) + frac23left(frac 1z-2right)\ &=frac43zleft(frac11+frac1zright)-frac 13left(frac11-frac12zright)\ &=frac43sum_n=0^ infinitofrac(-1)^nz^n+1+frac13sum_n=0^inftyfrac12^n z^n\ &=frac43sum_n=1^inftyfrac(-1)^n-1z^n+frac 13sum_n=0^inftyfrac12^nz^n\ endalign*
Como estamos interesados en una expansión para $|z|>3$, consideramos la expansión en $D_3$.
Expansión en $D_3$:
beginalign* f(z)&=frac43left(frac1z+1right) + frac23left(frac 1z-2right)\ &=frac43sum_n=1^inftyfrac(-1)^n-1z^ n+frac23zleft(frac11-frac2zright)\ &=frac43sum_ n=1^inftyfrac(-1)^n-1z^n+frac13sum_n=0^inftyfrac 2^n+1z^n+1\ &=frac43sum_n=1^inftyfrac(-1)^n -1z^n+frac13sum_n=1^inftyfrac2^nz^n\ &=frac 13sum_n=1^inftyleft(2^n-4(-1)^nright)frac1z^n\ finalinear*
El truco para resolver la Serie de Laurent es usar la siguiente serie geométrica: $$frac11-w = sum _0^infty (w)^n text for | w | < 1$$ and let $w = z-z_0$, where $z_0$ is the point of expansion. But since you sometimes would like to have a series which is valid outside instead of inside the circle |z| = 1 we can insert $frac1w = w$ in the geometric series above $$frac11-frac1w = sum _0^infty (frac1w)^n text for |w| > 1$$ esto es genial ya que esta serie es válida fuera del círculo |z| = 1. También se pueden alternar las regiones de la serie cambiando un poco la fórmula, siendo $a$ y $b$ constantes, entonces:
1)$$qquad frac11-a cdot w = sum _0^infty (a cdot w)^n text para |w| > frac1$$ 2)$$qquad frac11-fracbw = sum _0^infty (frac{b w)^n text para |w| > |b| $$ por lo tanto, podemos crear series para cualquier región que desee en el plan complejo. Esta es la idea principal detrás de resolver este tipo de problemas y todo se explica en este video, con algunos ejemplos que pueden ayudarlo a resolver sus ejemplos: https://www.youtube.com/watch?v=RC15R-ktnUI
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