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Cálculo de la dimensión de la intersección de dos subespacios

Este dilema se puede solucionar de variadas formas, sin embargo te enseñamos la resolución más completa para nosotros.

Solución:

Para calcular la dimensión de $Ucap V$ puedes

  1. Calcular una base de $Ucap V$ y contar los vectores, o
  2. Utilice $dim(Ucap V)=dim(U)+dim(V)-dim(U+V)$.

El segundo método se puede realizar de la siguiente manera:

  • Reúna todos los vectores $U$ como columnas de la matriz $A$ y todos los vectores $V$ como columnas de la matriz $B$.
  • Calcular $dim(U)=operatornamerangoA$, $dim(V)=operatornamerangoB$, $dim(U+V)=operatornamerango[A B]ps
  • Calcula $dim(Ucap V)$ usando la fórmula anterior.

PD En tu intento: el espacio nulo que tienes $$ beginpmatrix-2y-5z & 5y+6z & y+2z & y & zendpmatrix^T $$ es exactamente todos los coeficientes $(a,b,x,y,z)$ tales que las combinaciones lineales correspondientes con $(a,b)$, o con $(x,y,z)$, generan el subespacio $Ucap V$ (porque estabas buscando combinaciones lineales de $U$ que fueran iguales a combinaciones lineales de $V$). Tomemos, por ejemplo, $(a,b)$ en $U$ $$ beginbmatrix 1 & 1\ 3 & 4\ -3 & -1\ -1 & -2\ -4 & -2 endbmatrix beginbmatrix a\ b endbmatrix= beginbmatrix 1 & 1\ 3 & 4\ -3 & -1\ -1 & -2 \ -4 & -2 endbmatrix beginbmatrix -2y-5z\ 5y+6z endbmatrix= beginbmatrix 1 & 1\ 3 & 4\ -3 & -1\ -1 y -2\ -4 y -2 endbmatrix beginbmatrix -2 y -5\ 5 y 6 endbmatrix beginbmatrix y\ z endbmatrix= underbracebeginbmatrix 3 y 1\ 14 y 9\ 1 y 9\ -8 y -7\ -2 y 8 endbmatrix_text base de Ucap V beginbmatrix y\ z endbmatrix. $$ La dimensión de $Ucap V$ es, por lo tanto, $2$ (ya que las dos columnas son linealmente independientes).

Pista: $Dim(U + V) = Dim(U) + Dim(V) – Dim (Ucap V)$.

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