Este grupo de redactores ha estado largas horas buscando para darle solución a tus interrogantes, te compartimos la soluciones de modo que esperamos servirte de mucha ayuda.
Solución:
Depende de lo que consideres una “brecha” en los números racionales. Mientras este no sea un concepto definido formalmente, solo estamos hablando de nuestras concepciones cotidianas, geométricamente informadas, de las brechas.
El mero hecho de que una determinada ecuación no tenga una solución racional no parece ser una base para identificar una “brecha”. La ecuacion $ x ^ 2 = -1 $ tampoco tiene solución en los números racionales, y este hecho también da lugar a una extensión del sistema numérico (a los números complejos, en este caso), pero no encaja con nuestra noción cotidiana de una brecha para llamar a esta deficiencia un hueco”. Esto corresponde al hecho de que cuando llenamos la necesidad de resolver la ecuación $ x ^ 2 = 2 $ al introducir números irracionales, los representamos en el mismo eje que los números racionales, entre números racionales, mientras que cuando cubrimos la necesidad de resolver la ecuación $ x ^ 2 = -1 $ al introducir números imaginarios, los representamos a lo largo de un eje diferente.
Por lo tanto, el mero hecho de que alguna ecuación no pueda resolverse no indica una brecha en el sistema numérico, si por “brecha” nos referimos a algo parecido a lo que queremos decir con ella en el lenguaje cotidiano (donde una “brecha” ciertamente se representaría a lo largo de el mismo eje que las cosas entre las que se encuentra). Por el contrario, el hecho de que pueda dividir los números racionales en dos conjuntos, con todos los números en un conjunto mayores que todos los números en el otro pero sin un número que marque el límite, parece sugerir que “debería” haber un número en el límite, de modo que, en un sentido no muy alejado de nuestro uso cotidiano de la palabra, hay un espacio en el límite.
Hay una diferencia entre una cosa que no existe en algún conjunto y la existencia de un “espacio” correspondiente a esa cosa. Por ejemplo, no existe un número racional $ p $ tal que $ p> q $ para todos los números racionales $ q $. ¿Significa esto que hay una “brecha” en los racionales correspondientes a algún número racional “mayor”? Creo que la mayoría de la gente diría que no, no hay “brecha” allí.
O, quizás más interesante, no existe un número racional $ p $ tal que $ p ^ 2 = -1 $. Para resolver la ecuación $ p ^ 2 + 1 = 0 $, es necesario introducir la unidad imaginaria $ i $ y el sistema de números complejos (o, quizás, los racionales gaussianos; en realidad, no necesitamos un continuo). Es la falta de existencia de un racional $ p $ tal que $ p ^ 2 = -1 $ un hueco”? Una vez más, creo que la mayoría de la gente diría que no lo es.
Del mismo modo, no es a priori obvio que la inexistencia de un número racional (positivo) $ p $ tal que $ p ^ 2 = 2 $ representa cualquier tipo de brecha en el sistema de números racionales. Al demostrar que no hay tal $ p $ existe, todo lo que Rudin ha hecho es demostrar que No tal $ p $ existe. Esto parece tautológico (porque lo es), pero la situación es análoga a la inexistencia de un número racional mayor o la unidad imaginaria.
Lo que Rudin entonces hace es demostrar que hay un “número racional como un objeto”, $ s $, que se puede decir de manera significativa que tiene las siguientes propiedades:
-
$ s ^ 2 = 2 $,
-
hay un conjunto de números racionales positivos $ A $ tal que $ a en A $ implica que $ a
, y -
hay un conjunto de números racionales positivos $ B $ tal que $ b en B $ implica que $ b> s $.
Por tanto, en un sentido muy significativo, este objeto $ s $ encaja en el sistema de números racionales de forma natural. “Tapona un agujero” en los racionales. Contraste esto con la unidad imaginaria $ i $, cuales no encajar en el sistema de números racionales de cualquier manera natural: vive en un lugar que es ortogonal a los racionales.
La mejor opción aquí es leer el original de Dedekind. Continuidad y números irracionales o su exposición en Hardy Un curso de matemáticas puras.
La expansión de los sistemas numéricos puede verse impulsada por necesidades algebraicas a medida que uno avanza por el camino. $ mathbb N to mathbb Z to mathbb Q $. Pero el siguiente paso para $ mathbb R $ es totalmente no algebraico y no se basa en encontrar soluciones a ecuaciones polinómicas. Más bien, la necesidad es mejorar las relaciones de orden. Cuando se intenta analizar la estructura del conjunto $ mathbb Q $ en términos de relaciones de orden PS<, >PS se nos presenta un tipo diferente de insuficiencia. La idea que Dedekind popularizó por primera vez no es difícil de comprender y es una maravilla por qué no se trata el tema en el plan de estudios de la escuela secundaria.
Dedekind hace uso de la intuición geométrica y argumenta que si deseamos el sistema numérico como $ mathbb Q $ para representar todos los puntos en línea recta, entonces estamos en serios problemas. La existencia de un punto correspondiente a la raíz cuadrada de $ 2 $ está garantizado por el teorema de Pitágoras, pero tales puntos (incluidos todos los puntos realizados a través de construcciones geométricas) no son los únicos en la recta numérica que no pertenecen a $ mathbb Q $ más bien hay muchos más de varios tipos.
Por ejemplo, podemos intentar imaginar la existencia de un punto. $ a $ tal que $ a ^ 3 = 2 $. Este número no está disponible en $ mathbb Q $. Pero en lugar de resolver $ a ^ 3 = 2 $ podemos mirar inecuaciones $ a ^ 3 <2 $ y $ a ^ 3> 2 $. Esto nos lleva a estudiar la partición de $ mathbb Q $ en dos subconjuntos disjuntos no vacíos $ A $ y $ B $ cada uno correspondiente a números que satisfacen estas desigualdades. La idea de Dedekind es que a medida que tratamos de tomar números cada vez mayores en $ A $ y números cada vez más pequeños en $ B $ sus cubos se acercan cada vez más a $ 2 $. Y luego Dedekind se da cuenta de que el key aquí no están las ecuaciones algebraicas y las desigualdades relacionadas, sino más bien la partición de $ mathbb Q $ en dos conjuntos $ A, B $ tales que no son vacíos, disjuntos y exhaustivos y además cada miembro de $ A $ es menor que cada miembro de $ B $.
Él estudia estas particiones en detalle y muestra que solo hay tres posibilidades cuando hacemos una partición de este tipo:
- $ A $ tiene un miembro más grande
- $ B $ tiene un miembro mínimo
- Ninguno $ A $ tiene un miembro más grande ni $ B $ tiene un miembro mínimo.
Estas posibilidades son mutuamente excluyentes y exhaustivas. Las dos primeras posibilidades muestran que a medida que nos movemos del conjunto $ A $ para establecer $ B $ basado en el orden hay un punto límite que se encuentra al final de $ A $ o el comienzo de $ B $ y este punto límite es tal que todos los números menores que él se encuentran en $ A $ y todos los mayores que él yacen en $ B $. La tercera posibilidad no nos da tal límite.
Dedekind luego dice que esta es una característica definitoria de la idea de una línea recta geométrica en el sentido de que si cortamos la línea en dos partes a través de un punto, entonces exactamente una de las dos partes debe incluir ese punto de división. Este no es exactamente un teorema derivado de los axiomas de la geometría euclidiana, pero Dedekind siente que esto es lo que debería ser la naturaleza intrínseca de una línea recta si se supone que está formada por una serie de puntos de modo que se pueda ir desde un punto. de la línea continuamente a otro punto de la línea. Esto se basa en la creencia de que una línea está conectada / es continua / no tiene espacios.
Y como se mencionó anteriormente, el sistema de racionales no es continuo / conectado / sin espacios en la forma en que lo es una línea recta y, por lo tanto, no puede representar todos los puntos de una línea. Dedekind dice que las dos primeras posibilidades al dividir los racionales corresponden al número racional que es el punto límite de la partición. Y la tercera posibilidad nos lleva a un nuevo tipo de número llamado numero irracional que se supone que actúa como un punto límite.
Dedekind da un nombre a tal partición de racionales en dos conjuntos: un Corte. Y desarrolla las nociones de relaciones de orden y operaciones algebraicas en tales cortes. La aritmética que se desarrolla a partir de todo este ejercicio coincide con la aritmética de racionales cuando los cortes corresponden a racionales. Y así ya tenemos una expansión de números porque hay recortes que no corresponden a racionales. Así es como Dedekind construye el sistema de números reales $ mathbb R $ como un conjunto de cortes.
Y luego demuestra que se logra el objetivo final de la expansión. Cuando uno intenta hacer un corte dividiendo los reales en dos conjuntos $ A $ y $ B $ De manera análoga, siempre hay un punto límite entre los dos. Y el sistema no tiene lagunas como $ mathbb Q $ tenía y se puede utilizar para representar todos los puntos de una línea recta.
La mayoría de las presentaciones modernas del enfoque de Dedekind (especialmente aquellas que aparecen en libros de texto de análisis real) están totalmente desmotivadas y están escritas como si el autor estuviera muy desinteresado y lo hiciera solo como una formalidad.
La escritura de Dedekind muestra cómo todo esto se desarrolla desde cero y da muchas explicaciones intuitivas. En mi humilde opinión, comprender la construcción de números reales desde cero (idealmente antes de haber oído hablar de términos relacionados con el cálculo, como límites) es esencial para un estudio exhaustivo del cálculo / análisis real y el esfuerzo es muy gratificante.
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