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Solución:
Sea $ x in mathbb R $. Queremos mostrar que $ lim_ h to 0 frac f (x + h) -f (x) h $ existe.
Nosotros calculamos
$ frac f (x + h) -f (x) h = frac f (x + 2h / 2) -f (x + 0) h = frac 2f (x) f (h / 2) -f (x) f (0) h = f (x) frac f (h / 2) -f (0) h = f (x) frac f ( tilde h) – f (0) 2 tilde h = frac f (x) 2 frac f ( tilde h) – f (0) tilde h $.
De modo que el límite $ lim_ h to 0 frac f (x + h) -f (x) h $ es igual a $ frac f (x) 2 f ‘(0) PS
Como $ f $ es continuo, esto también implica que $ f ‘$ es continuo, ya que tenemos $ f’ (x) = frac f (x) 2 cdot f ‘(0). $
Creo que esto solo es posible si $ f (x) $ es constante para todos los valores de $ x $.
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Tome $ y = 0 $ y sea $ x $ arbitrario. Entonces $$ f (x + 2 cdot 0) = 2f (x) f (0) $$ lo que significa $ f (x) = 2f (x) f (0) $ por cada $ x in mathbb R $ . Ahora, si $ f (x) = 0 $ por cada $ x $, hemos terminado. De lo contrario, tome unos $ x $ tales que $ f (x) neq 0 $ y divida la ecuación por $ f (x) $ para obtener $ 1 = 2f (0) $ o $ f (0) = frac12 $.
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Tome $ x = 0 $ y sea $ y $ arbitrario. Entonces $$ f (0 + 2y) = 2f (0) f (y) $$ lo que significa que $ f (2y) = 2f (0) f (y) $ por cada $ y en mathbb R $. De 1., sabemos que $ 2f (0) = 1 $, por lo que tenemos que por cada $ y en mathbb R $, tienes $ f (2y) = f (y) $.
Usando la regla $ f (y) = f (2y) $, podemos mostrar inductivamente que para cada $ x en mathbb R $ y cada $ n en mathbb N $, tenemos $$ f (x) = f left ( frac x 2 ^ n right) $$
Esta última igualdad, junto con el hecho de que $ f $ es continuo a $ 0 $ (porque si es diferenciable, también es continuo), se puede usar para demostrar que $ f (x) = f (0) $ por cada $ x in mathbb R $:
- Sea $ x in mathbb R $ arbitrario y sea $ epsilon> 0 $. Entonces, existe algo $ delta $ tal que $ | f (y) -f (0) | < epsilon $ if $ | y | < delta $ (continuidad en $ 0 $).
- Sea $ n $ tal que $ overline x = frac x 2 ^ n < delta $. Entonces sabemos que $ | f ( overline x) - f (0) | < epsilon $.
- Entonces, como $ f (x) = f ( overline x) $, tenemos $ | f (x) -f (0) | < epsilon $.
- Al principio, la elección de $ epsilon $ fue arbitraria. Esto significa que $ | f (x) -f (0) | < epsilon $ para cada valor de $ epsilon $, algo solo posible si $ f (x) = f (0) $
Dado que $ x $ es arbitrario, $ f (x) = f (0) $ es true por cada $ x $.
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