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Solución:
Eche un vistazo a Hartshorne’s Geometría: Euclides y más allá. Utiliza los axiomas de Hilbert para la geometría y analiza (sección 11) el siguiente “axioma de intersección círculo-círculo (E)”:
Dados dos círculos $ Gamma, Delta $, si $ Delta $ contiene al menos un punto dentro de $ Gamma $, y $ Delta $ contiene al menos un punto fuera de $ Gamma $, entonces $ Gamma $ y $ Delta $ se encontrará.
Tenga en cuenta que la hipótesis de este axioma es (al menos posiblemente) una forma diferente de decir “a menos que obviamente no lo hagan” que, sin embargo, se basa en la intermediación y el orden en lugar de la distancia.
Hartshorne muestra (sección 12) que esencialmente toda la geometría euclidiana se puede desarrollar en un plano que satisfaga la versión bidimensional de todos los axiomas de Hilbert, pero con el axioma de completitud reemplazado por el axioma anterior (E). Esto responde a su segunda pregunta: no se necesita estar completo, todo lo que necesita es (E). Finalmente, en la sección 16 Hartshorne muestra que su intuición sobre la versión algebraica de (E) es correcta: el plano cartesiano sobre un campo ordenado satisface (E) si todos los números positivos tienen raíces cuadradas.
Creo que el sistema de Alexandrov es una respuesta.
Consulte “Fundamentos mínimos de la geometría” de Aleksandrov (original en ruso y hay una traducción en Siberian Math. J. 35 (1994), no. 6, 1057–1069).
También escribió un libro de texto para estudiantes escolares basado en este sistema.
El conjunto de herramientas geométricas que se utilizan en la geometría euclidiana consta solo de un lápiz, una regla y un compás. Con este conjunto de herramientas, no podemos construir todos los puntos en el plano R ^ 2. Es bien sabido que algunos problemas de geometría (como el problema de la trisección del ángulo) no se pueden resolver con este conjunto de herramientas.
David Hilbert, quien propuso el primer sistema formal de axiomas para la geometría euclidiana, utilizó un conjunto diferente de herramientas. Es decir, usó algunas herramientas imaginarias para transferir tanto segmentos como ángulos en el plano. Vale la pena señalar que en la geometría euclidiana original, estas transferencias se realizan solo con la ayuda de una regla y una brújula. Aunque la geometría de Hilbert es muy similar en sus resultados a la euclidiana, sin embargo difiere significativamente de ella. Una característica sorprendente del sistema de axiomas de Hilbert es la ausencia total de círculos. Por esta razón, es imposible no solo trisecar un ángulo sino también intersecar dos círculos. En otras palabras, resultó que en la geometría de Hilbert se pueden construir incluso menos puntos que en la geometría euclidiana. Cuando los contemporáneos de Hilbert llamaron su atención sobre este hecho, añadió a su sistema de axiomas el llamado “axioma de completitud”, cuya esencia se reduce al siguiente enunciado: “Existan todos los puntos del plano R ^ 2 que No pude construir “. En otras palabras, Hilbert no puede construir el punto de intersección de dos círculos con sus herramientas, pero puede probar que existe usando el axioma de completitud.
Los seguidores de Hilbert eluden esta dificultad con principios adicionales. Por ejemplo, Hartshorne agrega directamente al sistema de axiomas de Hilbert el axioma de la intersección de dos círculos (E). Ahora, en una geometría tan extendida “Hilbert + E” es posible construir todos los puntos del plano euclidiano. Sin embargo, surge la siguiente pregunta. Dado que la adición del axioma de intersección círculo-círculo (E) expande significativamente las capacidades constructivas de la geometría de Hilbert, entonces ¿tal vez sus herramientas originales para transferir segmentos y ángulos resulten superfluas en esta geometría extendida? ¡Este es de hecho el caso! Sin embargo, para eliminar las herramientas de Hilbert, algunos de sus otros axiomas también deben modificarse.
También hay otros defectos conocidos en la geometría de Hilbert. Por ejemplo, el tratamiento de Hilbert de los ángulos no puede considerarse completamente satisfactorio. El punto es que Hilbert solo define ángulos interiores (mayores que null ángulo y menos de ángulo recto). Como resultado de esta definición truncada, no es posible definir universalmente la suma de dos ángulos interiores arbitrarios. La suma de dos ángulos interiores en la teoría de Hilbert se determina solo si el ángulo resultante también es interior. Por tanto, la suma de ángulos en la teoría de Hilbert no forma un grupo. Otro inconveniente es que Hilbert no da una definición clara de la orientación del triángulo en el plano, aunque usa este concepto para definir áreas poligonales.
En mi trabajo reciente
Evgeny V. Ivashkevich, Sobre el método constructivo-deductivo para geometría euclidiana plana, arXiv: 1903.05175
Abandoné las herramientas de Hilbert y las reemplacé por las euclidianas (regla y brújula). Como resultado, la parte constructiva de mi desarrollo sigue siendo fiel a Euclides. Al mismo tiempo, he modificado algunos de los axiomas de Hilbert de tal manera que dan una definición moderna de orden y suma de ángulos (tanto convexos como reflejos) y de orientación de triángulos en el plano.
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