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Solución:
Básicamente, es la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero es importante tener en cuenta que esa partícula no es el protón, es el centro de masa de todo el átomo.
Esto se cubre con un detalle razonable en libros de texto adecuadamente rigurosos sobre mecánica cuántica (aunque no puedo pensar en un ejemplo específico en este momento), y la idea básica es la siguiente:
- Empiece con la ecuación de Schrödinger para las coordenadas electrónicas y nucleares, es decir, con el hamiltoniano $$ H = frac 1 2M mathbf p_N ^ 2 + frac 1 2m mathbf p_e ^ 2 – frac Ze ^ 2 . $$
- Luego, transforma su sistema a un nuevo conjunto de coordenadas: una para el movimiento relativo y otra para el centro de masa, begin align mathbf r & = mathbf r_e- mathbf r_N &&& mathbf R & = frac 1 M + m left (M mathbf r_N + m mathbf r_e right) \ mathbf p & = frac M M + m mathbf p_e- frac m M + m mathbf p_N &&& mathbf P & = mathbf p_N + mathbf p_e. end align
- Verifica que las nuevas coordenadas satisfacen las relaciones de conmutación correctas (canónicas), es decir, que $[x_j,p_k] = [X_j,P_k] = i hbar delta_ jk $ y $[x_j,P_k]= 0 = [X_j,p_k]PS
- Expresas las coordenadas nucleares y electrónicas como funciones de las coordenadas transformadas, las pones en tu hamiltoniano y trabajas en la transformación para obtener $$ H = frac 1 2 (M + m) mathbf P ^ 2 + frac 1 2 mu mathbf p ^ 2 – frac Ze ^ 2 , $$ donde $ mu = left ( frac1m + frac1M right) ^ – 1 $ es la masa reducida (en sí misma muy cerca de $ m $ en el límite donde $ m ll M $).
Esta descomposición separa completamente su problema dinámico (inicialmente acoplado) en dos subproblemas separados y bastante distintos, el habitual hamiltoniano electrónico, $$ H_ mathrm el = frac 1 2 mu mathbf p ^ 2 – frac Ze ^ 2 , $$ y un hamiltoniano de centro de masa dado solo por el término cinético de partículas libres, $$ H_ mathrm COM = frac 1 2 (M + m) mathbf P ^ 2. $$ Eso puede usarse para obtener la ecuación de onda explícita para el movimiento “nuclear” (en realidad, centro de masa). En el caso más simple, de hecho, esto es solo la partícula libre, pero es fácil ver cómo se puede modificar para, digamos,
- incluir un potencial explícito que aborde específicamente el movimiento nuclear,
- agregue el potencial para una trampa dipolar, que funciona agregando un potencial externo dependiente de $ mathbf R $ que se acopla fuera de resonancia al movimiento electrónico, que luego ‘congela’ ese grado de libertad a un $ mathbf R $ dependiente estado fundamental con una energía del estado fundamental dependiente de $ mathbf R $ que actúa como una trampa para el centro de masa, o también
- tener en cuenta el impulso de un fotón que es absorbido por los grados electrónicos de libertad,
entre muchas aplicaciones posibles.
Ah, y también: nada en mi procedimiento inicial es específico de la mecánica cuántica, y esa separación de variables también está presente en una forma esencialmente idéntica (es decir, solo necesita intercambiar los conmutadores canónicos por una preservación idéntica de los corchetes de Poisson) dentro de los clásicos Mecánica hamiltoniana.
Por conservación de la cantidad de movimiento, el centro de masa del átomo es lo que realmente permanece fijo. Esto implica que existe una correlación perfecta entre las funciones de onda $ Psi $ del electrón y $ Phi $ del protón:
$$ Phi (x) = Psi (- (M / m) x), $$
donde $ M $ es la masa del protón y $ m $ es la masa del electrón.
El efecto sobre los niveles de energía es reemplazar la masa del electrón con la masa reducida.
Escribo esto para complementar la respuesta correcta de @BenCrowell y, en mi opinión, la respuesta incompleta de @EmilioPisanty. En mi opinión, y parece ser también de Ben Crowell, la cuestión del OP apuntaba claramente al QM descripción de la función de onda del protón en el modelo de hidrógeno.
El enfoque habitual para incluir el efecto del protón en el problema del hidrógeno es desacoplar el hamiltoniano en el hamiltoniano para el movimiento de traslación del centro de masa y el hamiltoniano para el movimiento relativo del electrón y el protón, que tienen la distancia $ vec r = vec r_ text e – vec r_ text p $, que es una coordenada generalizada. (Vea la respuesta de Emilio Pisanty). Este hamiltoniano que describe el movimiento relativo es para una sola partícula ficticia con carga de electrones con la masa reducida $ mu = left (1 / m_ text e + 1 / m_ text p right) ^ – 1 $ en el potencial de Coulomb central $ frac e $ con una distancia $ vec r $ del origen. En el marco del centro de masa, este es el único hamiltoniano necesario para describir el átomo de hidrógeno. Para esto, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dice: $$ H psi left ( vec r right) = left ( frac vec p ^ 2 2 mu – frac e ^ 2 4 pi epsilon_0 right) psi left ( vec r right) = E psi left ( vec r right) tag1 $$ Al resolver esta ecuación de Schrödinger, obtienes todos los valores propios de energía del átomo de hidrógeno, incluido el efecto de movimiento del protón. Sin embargo, debe tener en cuenta que las soluciones de onda $ psi left ( vec r right) $ (funciones propias) obtenidas son para esta partícula ficticia de masa reducida $ mu $ que describe el sistema combinado de protones y electrones, no para el electrón o para el protón mismo.
Por tanto, surge la pregunta de si y cómo el electrón y el protón pueden describirse por separado con funciones de onda que den, por ejemplo, su distribución de probabilidad espacial. Ben Crowell ya ha dado una respuesta corta correcta para esto sin una derivación. Intento mostrar cómo se puede obtener esto a partir de las funciones de onda $ psi left ( vec r right) $ del sistema de partículas ficticio.
En el marco de referencia del centro de masa, el vector de posición del centro de masa es cero, lo que produce $$ m_ text e vec r_ text e + m_ text p vec r_ text p = 0 etiqueta 2 $$ y $$ vec r_ text e = – frac m_ text p m_ text e vec r_ text p etiqueta 3 $$ La distancia el vector $ vec r $ puede expresarse mediante el electrón o el vector de posición del protón $$ vec r = vec r_ text e – vec r_ text p = vec r_ text e izquierda ( frac m_ text e + m_ text p m_ text p right) = – vec r_ text p left ( frac m_ text e + m_ text p m_ text e right) tag 4 $$ Por lo tanto, la solución de onda de la ec. (1) produce $$ psi left ( vec r right) = psi left ( vec r_ text e frac m_ text e + m_ text p m_ text p right) = psi left (- vec r_ text p left ( frac m_ text e + m_ text p m_ text e right) right) $$ Por lo tanto, las funciones de onda para el electrón y para el protón, $ psi_ text e left ( vec r_ text e right) $ y $ psi_ text p left ( vec r_ text p right) $, se obtienen de la función de onda $ psi left ( vec r right) $ mediante escalas de coordenadas simples. Y la función de onda del protón está relacionada con la del electrón por la escala de coordenadas [eq. 2] $$ psi_ text p left ( vec r_ text p right) = psi_ text e left (- vec r_ text e frac m_ text e m_ text p right) tag 5 $$
Esto muestra que las funciones de onda del electrón y del protón se pueden derivar de la función de onda del sistema de masa reducida y que están perfectamente correlacionadas y centradas alrededor del centro de masa, como ha demostrado Ben Crowell en su respuesta. La función de onda de protones es simplemente una versión escalada de la función de onda de electrones. Esto significa, por ejemplo, que en el estado s fundamental del átomo, la densidad de probabilidad de posición máxima del protón se encuentra en una capa esférica alrededor del centro de gravedad con radio $$ r_ text p = frac m_ text e m_ text p r_ text e approx frac m_ text e m_ text p r _ text Bohr etiqueta 6 $$, que es mucho más pequeño que el radio de Bohr.
Le agradecería que me corrija o me dé una explicación en caso de que encuentre algo incorrecto en esta derivación complementaria.