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Solución:
El resultado que necesitas es que para un rectángulo con un perímetro dado, el cuadrado tiene el área más grande. Entonces, con un perímetro de 28 pies, puedes formar un cuadrado con lados de 7 pies y un área de 49 pies cuadrados.
Esto sigue ya que dado un número positivo $A$ con $xy = A$ la suma $x + y$ es menor cuando $x = y = sqrtA$.
Tienes $2x + 2y = P implica x + y = P/2$, y quieres encontrar el máximo del área, $A = xy$.
Como $x + y = P/2 implica y = P/2 – x$, sustituyes para obtener $A = x(P/2-x) = (P/2)x – x^2$. En su ejemplo, $P = 28$, por lo que desea encontrar el máximo de $A = 14x – x^2$.
¿Esto ayuda?
Editar: Además, ¿está en otra parte del problema que tiene que ser un rectángulo? Porque, de lo contrario, un rectángulo no sería la mejor opción.
Aquí hay un enfoque ligeramente diferente. Veamos qué pasa si usamos un rectángulo de base $x$ y altura $y$.
Entonces el perímetro (cantidad de cercado) utilizado es $2x+2y$. Esto es $28$, entonces $2x+2y=28$, o más simplemente $x+y=14$.
Tenga en cuenta que $$4xy=(x+y)^2-(xy)^2.$$ Dado que $x+y=14$, se deduce que $$4xy=(14)^2-(xy)^2. $$ Para hacer que $4xy$ (y por lo tanto $xy$) sea lo más grande posible, debemos restar lo menos posible de $(14)^2$. Entonces debemos hacer que $(xy)^2$ sea lo más pequeño posible. Como $(xy)^2$ es un cuadrado, siempre es $ge 0$, y es menor cuando $x=y$, es decir, cuando nuestro rectángulo es un cuadrado.
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