Solución:
Suponga que el centro de los círculos no se encuentra en una de las altitudes de $ triangle ABC $ (como se muestra en gris). Luego, dejando solo la base de esa altitud y moviendo esa altitud hacia el centro, aumentamos la altitud y, por lo tanto, el área del triángulo (como se muestra en negro).
$ hspace {3.5cm} $
Por tanto, el ortocentro del triángulo debe coincidir con el centro de los círculos.
Considere el siguiente diagrama, en el que $ O $ es tanto el ortocentro de $ triangle ABC $ como el centro de los círculos:
$ hspace {3.5cm} $
$ triangle AOF $ es similar a $ triangle COD $, por lo tanto, $ | overline {OC} || overline {OF} | = | overline {OA} || overline {OD} | $. Además, $ triangle AOE $ es similar a $ triangle BOD $, por lo tanto, $ | overline {OA} || overline {OD} | = | overline {OB} || overline {OE} | $. Por lo tanto, defina $$ p = | overline {OC} || overline {OF} | = | overline {OA} || overline {OD} | = | overline {OB} || overline {OE} | etiqueta {1} $$ y $$ a = | overline {OA} | quad b = | overline {OB} | quad c = | overline {OC} | etiqueta {2} $$ Con estas definiciones, obtenemos $$ | overline {OD} | = p / a quad | overline {OE} | = p / b quad | overline {OF} | = p / c tag {3} $ $ Tenga en cuenta que $$ frac {| triangle AOB |} {| triangle ABC |} = frac {| overline {OF} |} {| overline {OF} | + | overline {OC} |} = frac {p} {p + c ^ 2} tag {4} $$ $$ frac {| triangle BOC |} {| triangle ABC |} = frac {| overline {OD} |} {| overline {OD} | + | overline {OA} |} = frac {p} {p + a ^ 2} tag {5} $$ $$ frac {| triangle COA |} {| triángulo ABC |} = frac {| overline {OE} |} {| overline {OE} | + | overline {OB} |} = frac {p} {p + b ^ 2} tag { 6} $$ y porque $ | triangle AOB | + | triangle BOC | + | triangle COA | = | triangle ABC | $, $ (4) – (6) $ rendimiento $$ frac {p} { p + a ^ 2} + frac {p} {p + b ^ 2} + frac {p} {p + c ^ 2} = 1 tag {7} $$ Usando $ a = 1 $, $ b = 2 $, y $ c = 3 $, podemos resolver $ (7) $ para obtener $ p = 1.458757077431284 $.
Mirando el área de $ triangle AOB $ de dos maneras diferentes, obtenemos $$ begin {align} 4 | triangle AOB | ^ 2 = | overline {AB} | ^ 2 | overline {OF} | ^ 2 & = (a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos ( angle AOB)) (p / c) ^ 2 \ & = a ^ 2b ^ 2 sin ^ 2 ( angle AOB) \ & = a ^ 2b ^ 2 (1- cos ^ 2 ( angle AOB)) tag {8} end {align} $$ Resolviendo $ (8) $ para $ cos ( angle AOB) $ usando la fórmula cuadrática, y de manera similar para los otros ángulos, produce $$ cos ( angle AOB) = frac {p ^ 2- sqrt {(p ^ 2-c ^ 2a ^ 2) (p ^ 2-b ^ 2c ^ 2) }} {abc ^ 2} tag {9} $$ $$ cos ( angle BOC) = frac {p ^ 2- sqrt {(p ^ 2-a ^ 2b ^ 2) (p ^ 2- c ^ 2a ^ 2)}} {a ^ 2bc} tag {10} $$ $$ cos ( ángulo COA) = frac {p ^ 2- sqrt {(p ^ 2-a ^ 2b ^ 2 ) (p ^ 2-b ^ 2c ^ 2)}} {ab ^ 2c} tag {11} $$ Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos
$$ angle BOC = 104.071123766006501 ^ circ $$ $$ | triangle BOC | = 2.909984011512956 $$
$$ angle COA = 119.094556197774592 ^ circ $$ $$ | triangle COA | = 1.310727640381874 $$
$$ angle AOB = 136.834320036218908 ^ circ $$ $$ | triangle AOB | = 0.684110332666474 $$ Por lo tanto, obtenemos $$ | triangle ABC | = 4.904821984561304 $$
Fije los puntos $ A $ y $ B $ y maximice el área variando el punto $ C $. Esto significa maximizar la altura del triángulo con base $ AB $.
Con $ C $ en el punto máximo, dibuje una línea paralela a $ AB $ a través de $ C $. Si no es una tangente, entonces hay un punto en el círculo exterior que da un área mayor: contradicción. Por lo tanto, es una tangente y la perpendicular a $ AB $ a $ C $ es perpendicular a la tangente en el punto en que toca el círculo (la tangente es paralela a $ AB $) y, por lo tanto, pasa por el centro $ O $.
Algún cálculo algebraico
La respuesta aceptada por robjohn explica muy bien por qué el origen tiene que ser el ortocentro. Quiero sugerir un enfoque alternativo al cálculo que sigue. Para hacerlo, quiero usar coordenadas para los puntos en cuestión:
$$ O = (0,0) qquad A = (1,0) qquad B = (x, b) qquad C = (x, c) $$
El uso de la misma coordenada $ x $ para $ B $ y $ C $ ya asegura que $ OA $ sea perpendicular a $ BC $. Tienes tres condiciones para determinar estas tres variables:
begin {align *} lVert B rVert & = 2 & x ^ 2 + b ^ 2 & = 2 ^ 2 \ lVert C rVert & = 3 & x ^ 2 + c ^ 2 & = 3 ^ 2 \ langle CA, B rangle & = 0 & x ^ 2 + bc-x & = 0 end {align *}
El producto escalar expresa la condición $ (CA) perp B $, mientras que la tercera condición $ (CB) perp A $ ya está implícita en estas condiciones (dado que las altitudes de cualquier triángulo se encuentran en un solo punto).
Puede enviar esto a Wolfram Alpha para obtener aproximaciones numéricas de las coordenadas relevantes. Pero también puede eliminar variables, por ejemplo, utilizando resultantes, para obtener polinomios que describen sus soluciones:
begin {align *} x ^ 3 – 7x ^ 2 + 18 & = 0 \ b ^ 6 + 37b ^ 4 – 92b ^ 2 + 36 & = 0 \ c ^ 6 + 22c ^ 4 – 387c ^ 2 + 1296 & = 0 end {align *}
No es posible una solución de regla y brújula
Estos son polinomios cúbicos irreducibles en $ x, b ^ 2, c ^ 2 $ resp. por lo que no pueden ser el resultado de la construcción de una regla y un compás. Cada construcción de regla y compás que comienza a partir de coordenadas enteras (como los puntos $ O, A $ y radios enteros) solo puede resultar en coordenadas que son sumas, diferencias, productos, cocientes o raíces cuadradas de otras coordenadas construibles. Las raíces cúbicas no son posibles.
Entonces, el principal resultado de esta investigación es este:
El triángulo de área máxima no se puede construir con regla y compás.
Cualquiera que busque una construcción de “geometría elegante” para lograr esto puede detenerse ahora, a menos que esté buscando conscientemente sólo una buena aproximación.
El valor del área máxima
Usar un poco de cálculo en las coordenadas anteriores usando números algebraicos en salvia muestra que el área $ a $ satisface la ecuación
$$ 16a ^ 6-392a ^ 4 + 133a ^ 2 + 900 = 0 $$
de modo que nuevamente es un polinomio cúbico en $ a ^ 2 $. Al alimentar ese polinomio en WA (sorprendentemente solo cuando omito comandos como “resolver”) obtengo una expresión fea pero exacta para la solución en cuestión:
$$ a = frac12 sqrt { frac13 left (98+ frac {9205} { sqrt[3]{833939 + 7974i sqrt {1329}}} + sqrt[3]{833939 + 7974i sqrt {1329}} right)} $$
Esto es interesante porque la publicación a la que se refirió afirma una fórmula mucho más simple, pero que se basó en la suposición incorrecta de $ 45 ° $ que robjohn ya refutó. La última publicación de hurón, sin embargo, da como resultado la misma área que calculé yo mismo. Así que ellos también finalmente encontraron una solución exacta.