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área máxima de un rectángulo inscrito en un semicírculo de radio r.

Por fin después de tanto luchar pudimos dar con el resultado de esta dificultad que muchos lectores de nuestro espacio tienen. Si tienes algún detalle que aportar puedes aportar tu comentario.

Solución:

Sea $theta$ el ángulo que forma la línea roja inclinada (?) de la derecha con la horizontal.

Entonces la altura del rectángulo es $rsintheta$ y la base es $2rcostheta$, para un área de $r^2sinthetacostheta$.

Esto es $fracr^22sin 2theta$. Pero $sin 2theta$ tiene un valor máximo de $1$, en $theta=fracpi4$.

Has perdido $x$ al calcular tu derivada. Aplicando la regla del producto: $$beginalignA'(x) &= 2xleft(frac12(r^2-x^2)^-1/2(- 2colorredx)right) + 2sqrtr^2-x^2\ &= frac-2x^colorred2sqrt r^2-x^2 + 2sqrtr^2-x^2endalinear$$

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