Nuestro equipo especializado pasados varios días de investigación y de recopilar de información, encontramos la solución, deseamos que te sea útil en tu trabajo.
Solución:
Hay un libro famoso de Polya (“Cómo resolverlo”), en el que se trata de una manera realmente interesante el problema de inscribir un cuadrado en un triángulo, sugiero encarecidamente la lectura.
El cuadrado inscrito es claramente único una vez que elegimos el lado del triángulo donde se encuentran dos vértices del cuadrado. Si suponemos que el cuadrado tiene dos vértices en $AB$ y lado $l$, entonces:
$$l+lcot A + lcot B = c,$$
asi que:
$$ l = fracc1+cot A+cot B = frac2R sin A sin B sin Csin C + sin Asin B=frac abc2Rc+ab,$$
donde $R$ es el circunradio de $ABC$. Para maximizar $l$, solo necesitas minimizar $2Rc+ab = 2Rleft(c+frac2Deltacright)$, o “aterrizar” el cuadrado en el lado cuya longitud es lo más cerca posible de $sqrt2Delta$, donde $Delta$ es el área de $ABC$.
Digamos que $x$ es el lado del cuadrado más grande dentro de un triángulo con lados $a,b,c$. Digamos que un lado del cuadrado está en el lado $BC$. Entonces obtenemos un cuadrado y 3 triángulos. Igualando el área del triángulo más grande con la suma del área de los 3 triángulos pequeños y el cuadrado obtenemos:
$$frac12 ch = x^2text[area of the square]+ frac12 x(c – x) text[area of two small base triangle] + frac12 x( h – x)text[area of the upper triangle]$$
Al resolver:
$$x= fracch(c+h)$$
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