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Solución:
Para un polígono regular de $n$ lados con lado de longitud $l$. Los extremos de cada lado cuando se conectan al centro del polígono forman un triángulo con un ángulo de $frac2pin$ en el centro. Habrá $n$ tales triángulos. La altura de cada triángulo a partir del centro del polígono tiene una longitud de $fraca2tanfracpin$ con el lado opuesto (base del triángulo) de longitud $ un $. Esta altura de altura será también el radio del círculo inscrito en ella.
Entonces,
$textÁrea del círculo inscrito = pi left(fraca2tanfracpinright)^2$
$textPerímetro del círculo inscrito = 2pi left(fraca2tanfracpinright)$
$textÁrea del polígono = n cdot frac12aleft(fraca2tanfracpinright)$
$textPerímetro del polígono = n cdot a$
La figura muestra una porción del polígono y su círculo inscrito. Es suficiente mostrar: –
$dfrac [polygon (OAPB)][sector (OAB)] = dfrac AP + PBarco (AB)$.
Tenga en cuenta que, LHS $= dfrac R^2 times tan theta0.5R^2(2 theta)= dfrac tan thetatheta$ y RHS $= dfrac 2R times tan thetaR(2theta) = dfrac tan thetatheta$.
Adicional
Sea la siguiente porción adyacente OBQC y la siguiente sea OCRD…. Entonces,
PS[Polygon(OAPB)] = dfrac tan thetatheta veces [sector(OAB)]$ …..(1)
PS[Polygon(OBQC)] = dfrac tan thetatheta veces [sector (OBC)]$ …..(2)
:
Después de sumar todas estas ecuaciones verticalmente, tenemos $[given(polygon)] = dfrac tan theta theta veces [inscribed(circle)]PS
Es decir, $dfrac [given(polygon)] [inscribed(circle)] = dfrac tan thetatheta$.
La comparación de las longitudes se puede resolver de manera similar.
Eventualmente, tenemos $dfrac perímetro(polígono)perímetro(círculo) = dfrac tan thetatheta$.
El resultado sigue.
Observación:-
Como lo señaló @expiTTp1z0, esto solo funciona para el caso en que el “ángulo central” es constantemente igual a $2 theta$ para cada subdivisión. (Es decir, la demostración es válida solo cuando el polígono es regular). Debo comparar [Sector] : [Arc-length] y [OAPB] : [AP + PB] en cambio (como lo que hizo C. Blatter). Entonces, ambos son iguales a R/2.
Considere el sector circular del ángulo central $alpha$ entre dos puntos de tangencia sucesivos. Uno tiene $$rm area(circular sector)overrm length(circulararc)=1over 2alpha r^2over alpha r=r over2 ,$$ y para la parte correspondiente del polígono (una cometa) se tiene $$rm area(kite)overrm length(outer edge)=2cdot 1over 2rcdot rtanalphaover2over 2 rtanalphaover2=rover2$$ también. Ahora, si $a_i=rover2> b_i$ $(1leq ileq n)$ entonces $$sum_i a_ioversum_i b_i=sum_i rover2 b_i oversum_i b_i=rover2 ,$$ y esto es válido tanto para la unión de sectores circulares como para la unión de cometas.
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