La guía paso a paso o código que verás en este artículo es la solución más sencilla y válida que encontramos a esta duda o problema.
Solución:
Si empiezas 1 metro por delante de mí y me toma 1 s alcanzar tu posición actual (aparentemente corro a 1 metro por segundo y tú corres a 0,01 metros por segundo), $ frac 1 100 $ th de segundo para alcanzar su posición en $ t = 1 $, etc. Tomo $$ 1 + frac 1 100 + frac 1 100 ^ 2 + cdots = sum_ i = 0 ^ infty frac 1 100 ^ i $$ segundos para adelantarte. Dado que $$ sum_ i = 0 ^ infty frac 1 100 ^ i = frac 1 1- frac 1 100 = frac 100 99, $$ luego, después de $ frac 100 99 $ segundos, te habré superado. Esto ocurrirá mucho antes de que lleguemos a la meta; solo hemos avanzado $ frac 100 99 $ metros (ya que aparentemente corro a 1 metro por segundo), y la línea de meta está a más de $ frac 100 99 $ metros de donde comenzamos . Una vez que te haya adelantado, estaré por delante en cualquier otro momento.
El error implícito en la afirmación original de que no puedo adelantarte es la suposición de que una suma infinita de cantidades positivas será necesariamente infinita. Esto se ha abordado durante mucho tiempo y ni siquiera requiere el uso de infinitesimales.
Por supuesto, es posible que empieces tan por delante de mí que solo te alcanzaré cuando lleguemos a la meta; ¡pero eso no es una paradoja! Tampoco entiendo cuál es su queja con “ambas personas acaban la carrera”. ¿Hay algún problema con que la persona más lenta termine después de que la más rápida lo haya hecho?
A continuación se muestran algunos consejos sobre la literatura para sus inquietudes filosóficas, tomados de mis antiguas publicaciones sobre ciencia y matemática. Por lo tanto, esto realmente tiene la naturaleza de un comentario, no una respuesta, pero debido a las restricciones de longitud de los comentarios, estoy publicando esto como una respuesta.
En primer lugar, son de posible interés las búsquedas en Google Infinity Machines y supertasks, así como el artículo de Wikipedia Supertask.
He enumerado las referencias que siguen en orden de lo útiles / interesantes que creo que serían para sus inquietudes.
[1] Wesley Charles Salmon (editor), Las paradojas de Zenón, Bobbs-Merrill, 1970, x + 309 páginas. [Reprinted by Hackett Publishing Company in 2001; ?? + 320 pages.]
[2] José Amado Benardete, Infinito. Un ensayo en metafísica, Clarendon Press, 1964, x + 289 páginas. copia escaneada
[3] Adolf Grünbaum, La ciencia moderna y las paradojas de Zenón, Wesleyan University Press, 1967, x + 148 páginas. [Reprinted by George Allen and Unwin in 1968; x + 153 pages.]
[4] Florian Cajori, La historia de los argumentos de Zenón sobre el movimiento (en 9 partes), Mensual Matemática Estadounidense 22 (1915), 1-6, 39-47, 77-82, 109-115, 143-149, 179-186, 215-220, 253-258, 292-297. Ediciones del volumen 22 de Jstor AMM: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
[5] Florian Cajori, El propósito de los argumentos de Zenón sobre el movimiento, Isis 3 # 1 (enero de 1920), 7-20. jstor
[6] Clive William Kilmister, Zenón, Aristóteles, Weyl y Shuard: dos milenios y medio de preocupaciones sobre el número, Gaceta matemática 64 # 429 (octubre de 1980), 149-158. jstor
Creo que la “explicación” matemática de la paradoja de Zenón (convergencia de series infinitas) es bastante insatisfactoria. Suponiendo que cada término de la serie corresponde a un paso de Aquiles y considerando que efectivamente alcanza a la tortuga en un tiempo finito, ¿cuál de los pies de Aquiles está adelantado en el momento en que llega a la tortuga?
O una presentación ligeramente diferente, pero equivalente, de la paradoja: suponga que la tortuga cambia de dirección en cada instante discreto de tiempo que Aquiles alcanza su posición anterior, moviéndose alternativamente al NE y al SE. Aquiles simplemente sigue su camino. ¿En qué dirección mira la tortuga en el momento en que Aquiles la alcanza?
Aquiles y la tortuga no es una paradoja en absoluto, sino una refutación de la hipótesis de que el espacio es continuo. La paradoja de la flecha de Zenón es una refutación de la hipótesis de que el espacio es discreto. Juntos forman una paradoja y probablemente la explicación no sea fácil. Para Zenón, la explicación fue que lo que percibimos como movimiento es una ilusión. En cualquier caso, no creo que las series infinitas convergentes tengan nada que ver con el corazón de las paradojas de Zenón.
EDITAR: El mismo argumento se puede hacer partículas puntuales, solo asumiendo que la realidad física es continua e infinitamente divisible. Imagine un fotón viajando entre una secuencia infinita de espejos colocados en forma de zig-zag con la distancia entre los espejos disminuyendo a una tasa geométrica. Entonces, el fotón rebota de una dirección NE a SE y viceversa, con la distancia recorrida disminuyendo “rápido”. Dado que la longitud de la trayectoria total es finita (suma de una serie geométrica), el fotón emergerá de la secuencia de espejos en un tiempo finito. ¿En qué dirección viajará? El corazón del argumento de Zeno es que no hay una forma lógica de decidir eso. Puede argumentar que es imposible construir tal secuencia de espejos, sin embargo, esto es solo admitir el punto de Zeno de que la realidad física NO es continua e infinitamente divisible.
Creo que el modelo matemático de la paradoja de Zenón es una gran herramienta pedagógica en el cálculo de primer año, probablemente podría hacerse incluso antes en la escuela secundaria, pero pasa por alto un aspecto importante del argumento de Zenón. Por supuesto, este argumento se encuentra en el límite de las matemáticas, la física y quizás la filosofía.
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