Esta es la respuesta más completa que te podemos brindar, sin embargo estúdiala detenidamente y valora si se puede adaptar a tu proyecto.
Solución:
Esto se sigue del hecho de que el conjunto de matrices $ntimes n$ con espectro simple es denso en el espacio de todas las matrices $ntimes n$ $bf M_n(mathbb C)$ (o que el conjunto de polinomios de grado $n$ con raíces simples es denso en el conjunto de todos los polinomios complejos de grado $n$).
La función $f$ resuelve el problema de Cauchy para una EDO lineal con constante coeficientes complejos $$y^(N)+a_1y^(N-1)+dots+a_Ny=0,$$ $$y^(k)(0)=f^(k) (0),quad k=0,1dots,N-1,$$ donde $N=sum_j=1^M (m_j+1) leq n$. Los exponentes $lambda_j$, $j=1,dots,M$ son las raíces de la correspondiente ecuación característica $$P(lambda)=lambda^N+a_1lambda^N-1+ dots+a_Nlambda=0$$ con las multiplicidades, respectivamente, $m_j+1$, $j=1,dots,M$. Los coeficientes $a_1,dots a_N$ se pueden encontrar a partir de la relación $$P(lambda)=prodlimits_j=1^M(lambda-lambda_j)^m_j+1. $$
Ahora, una pequeña perturbación genérica de los coeficientes de la ODE producirá una ODE $$y^(N)+a_1^varepsilony^(N-1)+dots+a_N^varepsilony =0,$$ tales que las raíces de la ecuación característica correspondiente son todas simples. Esto implica que una solución a la última EDO pertenece a $E_n$. Finalmente, podemos usar un resultado estándar de que las soluciones de las EDO lineales dependen continuamente de los coeficientes (en la topología de convergencia uniforme en intervalos de tiempo finitos).
Por inducción en $n$. Si $n=1$, no hay problema. Si $n geq 2$, si los polinomios $p_m_j$ son todos constantes, todavía no hay problema. Así que suponga que $p_m_1$ no es constante. Aproximar $f$ es lo mismo que aproximar $t mapsto e^-lambda_1 t f(t)$, por lo que podemos asumir $lambda_1=0$. Luego aproximamos $f’$, usando inducción (ya que $lambda_1=0$, $sum_j=1^M (m_j+1)$ es menor para $f’$). Ahora bien, si $f’-u_0$ es pequeño, con $u_0(t) = sum_k=1^n-1 c_k e^mu_k t$, entonces $fu$ también es pequeño, donde $u(t)=f(0)-sum_k=1^n-1 c_k/mu_k + sum_k=1^n-1 fracc_kmu_k e^mu_k t$ (usando integración). El único problema aquí es que tal vez $mu_k=0$ por algunos $k$. Pero podemos tomar $mu_k$ muy pequeño pero distinto de cero, $u_0$ todavía está cerca de $f’$.
Este método da un algoritmo: todo es computable, y las únicas aproximaciones son, de hecho, las opciones de “reemplazos” para cero $mu_k$ (si lo tomas como $1/n$, obtienes una secuencia).
Creo que lo siguiente es otra prueba. Basta aproximar un polinomio de grado n por un polinomio exponencial de grado n + 1. Ahora, define $$ g_lambda(x) = frace^lambda xlambda – 1 $$ Es fácil comprobar que $sup_xin [0,1] |g_lambda – x| leq frac12 lambda$. También $g_lambda$ tiene un pedido de $2$. Además, podemos calcular $$ |g_lambda(x)^n – x^n| leq |g_lambda(x) -x| cdot n leq fracn2 lambda. $$ Y tenga en cuenta que $g_lambda(x)^n$ tiene el orden $n+1$. Así que un polinomio de grado $n$ dado por $$ P_n(x) = sum_k=0^n a_k x^k $$ puede ser aproximado por $$ sum_k=0^n a_k (g_lambda(x))^k $$ hasta ordenar $n^2 lambda$. Dejar $lambda a 0$ implica el reclamo.
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