Por fin luego de tanto trabajar hemos hallado la contestación de esta escollo que tantos lectores de este espacio tienen. Si quieres compartir algún dato no dudes en aportar tu comentario.
Solución:
Aunque ciertamente no es el enfoque más eficiente, podemos usar la fórmula de Stirling para llegar a la expresión asintótica de $binomnk$. Tenemos
$$fracsqrt2pi n(n/e)^nk!sqrt2pi(nk)((nk)/e)^nk=(1- k/n)^k-1/2frace^-kk!(1-k/n)^nn^k tag 1$$
Tenga en cuenta que el primer término en el lado derecho de $(1)$ tiende a $1$ como $nainfty$. Tenga en cuenta también que el denominador del término medio en el lado derecho va a $k!e^-k$. Por lo tanto, el término medio también tiende a $1/k!$. nos quedamos con $n^k/k!$ como se esperaba.
Nótese que la notación $kll n$ es nebuloso (Vea la discusión de ESTA nota sobre las asintóticas del coeficiente binomial). Aquí, hemos asumido tácitamente que $k$ es fijo y eso $k=o(sqrt n)$.
La aproximación $n! approx (n/e)^n$ es suficiente. Como $n to infty$ y $k/n to 0$ tenemos
$$(nk)! approx left(fracnkeright)^nk= left(fracneright)^nk (1-k/n)^nk approxleft(fracneright)^nk e^-k$$
Por eso
$$ n elegir k approx frac left(fracneright)^n left(fracneright)^nk e^-k , k! = fracn^kk! $$
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