Aproximación de raíces cuadradas usando expansión binomial.

Nuestro equipo de expertos despúes de ciertos días de investigación y de recopilar de información, dimos con la respuesta, deseamos que te resulte útil en tu plan.

Solución:

Personalmente, yo no lo habría hecho de esa manera. Así que así es como lo hubiera hecho:

Método 1:

$$sqrt2=sqrt1+1=1+frac12-frac18+dotsapprox1+frac12-frac18=frac118=1.375$$

lo cual me queda mucho más claro, ya que evita tener que llevar decimales elevados a potencias y te da algo que puedes hacer fácilmente a mano.

$$1.375^2=1.890625$$

Obviamente, se acerca al valor correcto a medida que toma más términos.

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Método 2:

Esto se llama iteración de punto fijo/método de Newton, y básicamente es así:

$$x=sqrt2implica x^2=2$$

$$2x^2=2+x^2$$

Divide ambos lados por $2x$ y obtenemos

$$x=frac2+x^22x$$

Ahora, curiosamente, voy a llamar a los $x$ de la izquierda $x_n+1$ y a los $x$ de la derecha $x_n$, así que

$$x_n+1=frac2+(x_n)^22x_n$$

y con $x_0approxsqrt2$, tendremos entonces $x=lim_ntoinftyx_n$. Por ejemplo, con $x_0=1$,

$x_0=1$

$x_1=frac2+1^22(1)=frac32=1.5$

$x_2=frac2+(3/2)^22(3/2)=frac1712=1,41666puntos$

$x_3=puntos=frac577408=1.414215686$

Y uno puede verificar rápidamente que $(x_3)^2=2.000006007dots$, que es más o menos la raíz cuadrada de $2$.

Queremos aproximar (manualmente) $sqrt2$ utilizando los primeros términos de la expansión de la serie binomial de
beginalign* sqrt1-2x&= sum_n=0^infty binomfrac12n(-2x)^nqquadqquad qquadqquad |x|
Aquí buscamos una manera de determinar los valores apropiados de $x$ utilizando la expansión binomial.

Para aplicar (1) estamos buscando un número $y$ con
beginalign* sqrt1-2x&=sqrt2y^2=ysqrt2tag2\ colorazulsqrt2& colorazul=frac1ysqrt1-2x endalign*

Vemos que es conveniente elegir $y$ ser un número cuadrado que se puede factorizar fácilmente a partir de la raíz. Obtenemos de (2)
beginalign* 1-2x&=2y^2\ colorbluex&colorblue=frac12-y^2tag3 finalinear*

Al buscar un adecuado $y$ que cumple (3) hay algunos aspectos a considerar:

• Tenemos que respetar el radio de convergencia. $|x|.

• Como queremos calcular una aproximación de $sqrt2$ a mano debemos tomar $yinmathbbQ$ con números bastante pequeños como numerador y denominador.

• Por último, pero no menos importante: queremos encontrar un valor $x$ que proporciona una buena aproximación para $sqrt2$.

Veremos que no es difícil encontrar valores que tengan estas propiedades.

Vemos en (1) que se da una buena aproximación si $x$ esta cerca de $0$. Si $x$ es cercano a cero también cumpliremos la condición de convergencia. $x$ cerca de cero significa que en (3) tenemos que elegir $y$ así que eso
$ y^2 $
esta cerca de $frac12$. Ya hemos considerado (1) y (3) apropiadamente. Ahora queremos encontrar pequeños números naturales. $a,b$ así que eso
beginalign* y^2=fraca^2b^2approx frac12 endalign*
Esto se puede hacer fácilmente. Al pasar por un pequeño número de $a$ y $b$ cuyos cuadrados están separados por un factor $2$ podríamos llegar rápidamente a $100$ y $49$. Estos son dos cuadrados pequeños y tenemos $2cdot 49=98$ cerca de $100$. Eso es todo.

Ahora es el momento de la cosecha. Nosotros elegimos $y^2=frac49100$ resp. $colorazuly=frac710$. Obtenemos por $x$ de (3)
beginalign* x=frac12-y^2=frac12-frac49100=frac1100 end alinear*
Ahora tenemos un buen valor $colorazulx=frac1100$ y finalmente obtenemos de (1) la aproximación:
beginalign* colorbluesqrt2 approx frac107left(1- 10^-2-frac12cdot 10^-4-frac12cdot 10^-6right)colorblue=1.414,213,571ldots endalign*

Tenemos $colorazulsqrt2=1.414,213,562ldots$ con un error de aproximación $aprox. 9,055veces 10^-9$. Este resultado es bastante impresionante si se considera que hemos utilizado solo cuatro términos de la serie binomial.

Nota: En una sección sobre el desarrollo de series binomiales en Viaje a través del genio por W. Dunham el autor cita a Newton: La extracción de raíces se acorta mucho con este teorema.indicando cuán valiosa fue esta técnica para Newton.

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