Este equipo de trabajo ha estado mucho tiempo investigando para darle resolución a tu duda, te compartimos la respuestas por eso esperamos servirte de gran apoyo.
Solución:
El teorema de la función implícita se aplicaría directamente para decirle que si tiene la ecuación $$F(x,y,z) = (x^2+y^4)z + z^3 = 1,$$ entonces puede localmente resuelve para $z=f(x,y)$ cerca de $(x_0,y_0,z_0)$ como una función $C^1$ proporcionada
(1) $F$ es $C^1$ (es)
(2) $parcial F/parcial z ne 0$ en el punto $(x_0,y_0,z_0)$.
¿Qué notas sobre $parcial F/parcial z$ en cada punto de $U$?
Como de costumbre, Ted dio una gran respuesta (y deberías aceptarla). Voy a hacer un poco de quisquilloso, lo que podría o no apreciar ahora: ser $C^1$ es una propiedad local, por lo que desea verificar que dado $(x_0,y_0)in U$, luego $f$ es de clase $C^1$ en una vecindad de $(x_0,y_0)$.
Genial, una vez que aplicas la IFT a la función $F$ en la respuesta de Ted, obtienes un vecindario $V$ de $(x_0,y_0)$ (que puedes suponer que está contenido en $U$, reemplazando $V$ por $Vcap U$ si es necesario) y un intervalo abierto $I$ centrado en $z_0$ tal que para todo $(x,y) in V$ hay un único $varphi(x,y)in I$ tal que $$F(x,y,varphi(x,y))=1, $$y esta función implícita $varphi:Vto I$ también es $C^1$. Por el unicidad arriba, $f|_V= varphi$ es $C^1$. Y esa es la razón por la que $f$ es $C^1$. Solo quería ilustrar la importancia de la parte de unicidad del teorema, para que puedas usar todo su poder sin perderte nada.
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