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Solución:
Esta es una aplicación estándar, una forma de usar el teorema de Green para calcular áreas haciendo integrales de línea.
Sea $ D $ la elipse y $ C $ su límite $ frac x ^ 2 a ^ 2 + frac y ^ 2 b ^ 2 = 1 $. El área que estás tratando de calcular es $$ int ! ! Int_D 1 , dA. $$ De acuerdo con el teorema de Green, si escribes $ 1 = frac parcial Q parcial x – frac parcial P parcial y $, entonces esta integral es igual a $$ oint_C (P , dx + Q , dy). $$ Hay muchas posibilidades para $ P $ y $ Q $. Elegir uno. Luego usa la parametrización de la elipse begin align * x & = a cos t \ y & = b sin t end align * para calcular la integral de línea.
Como probablemente pueda ver, la idea de encontrar $ P $ y $ Q $ con $ frac parcial Q parcial x – frac parcial P parcial y = 1 $ se puede utilizar para calcular el área de cualquier región encerrada por una curva cerrada simple. Por supuesto, la integral de línea puede ser más complicada que el cálculo del área, pero eso es otra cosa.
Sea $ A $ el área de la región $ D $ limitada por la elipse con la ecuación $$ frac x ^ 2 a ^ 2 + frac y ^ 2 b ^ 2 = 1 $$
Deje que $ parcial D $ denote el límite. Puede parametrizar $ parcial D $ con orientación en sentido antihorario, por $$ varphi (t) = (a cos t, b sin t) $$ Entonces tiene
begin align * A & = frac 1 2 int limits _ partial D xdy – ydx \ & = frac 1 2 int limits_ 0 ^ 2 pi (−b sin (t), a cos (t)) cdot (−a sin (t), b cos (t) dt \ & = frac 1 2 int limits_ 0 ^ 2 pi (ab sin ^ 2 t + ab cos ^ 2 t) dt \ & = pi cdot ab final alinear *
Si sostienes alguna incertidumbre o capacidad de innovar nuestro enunciado te sugerimos escribir un exégesis y con mucho placer lo analizaremos.