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Solución:
Estas preguntas se relacionan con la siguiente construcción:
Sea $(G,cdot)$ un grupo. Definir su opuesto $G^op$ para ser el grupo $(G,*)$ donde definimos $$x*y=ycdot x.$$
Se puede comprobar que esto efectivamente forma un grupo. Entonces, un antihomomorfismo $f:Grightarrow H$ es exactamente un homomorfismo $Grightarrow H^op$ o, de manera equivalente, un homomorfismo $G^oprightarrow H$.$^1$ Esencialmente todos sus resultados se derivan del hecho de que los antihomomorfismos son homomorfismos: su dominio es justo lo contrario de lo que está marcado.
En cierto sentido, un antiisomorfismo es lo mismo que un isomorfismo normal. Esto se debe a que $G$ y $G^op$ siempre son isomorfos: el mapa $f:Grightarrow G^op$ definido por $f(g)=g^-1$ es un isomorfismo .$^2$ Por lo tanto, si $G$ y $H$ son antiisomorfos, en realidad son isomorfos (y viceversa).
$^1$ Se podría observar que un homomorfismo $G^oprightarrow H^op$ es también un homomorfismo $Grightarrow H$ y viceversa.
$^2$ Esto sigue fácilmente ya que $f(gcdot h)=(gcdot h)^-1=h^-1cdot g^-1=f(h)cdot f(g)=f(g)*f(h)$. Obviamente, esto es biyectivo ya que la inversión es una involución.
Se puede usar un antihomomorfismo, por ejemplo, para convertir una acción de grupo de izquierda en una acción de grupo de derecha.
Es dual a la noción de homomorfismo: si vemos los grupos como categorías con un objeto, entonces los homomorfismos son funtores covariantes, los antihomomorfismos son funtores contravariantes. Por lo tanto, es muy natural que las dos nociones sean muy similares.
A veces, los anti-isomorfismos surgen naturalmente: el mapa $gto g^t$ en $GL_n(mathbbR)$ o $gto g^dagger$ en $GL_n(mathbbC)$, por ejemplo. Sin embargo, puedes interpretar un anti-homomorfismo $G to H$ como un homomorfismo $G to H^textop$, donde $H^textop$ es el grupo con el mismo conjunto subyacente que $H$ y operación de grupo $xy = yx$. Sin embargo, el tema no es particularmente interesante, ya que el mapa $H to H^textop$ dado por $x to x^-1$ es un isomorfismo. Sin embargo, para los anillos (no conmutativos), la situación es más interesante: los anillos $A$ y $A^textop$ no son necesariamente isomorfos.
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