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Solución:
“Ángulos de Euler” se puede pensar como una función $(S^1)^3 a SO_3$ o $mathbb R^3 a SO_3$. La derivada de esta función no siempre tiene rango 3, por lo que tiene subvariedades degeneradas donde la función es de muchos a uno. En este caso especial, eso se llama “bloqueo de cardán”.
Un formalismo que evita esto son los cuaterniones. Por supuesto, puede usar otros formalismos, y muchos otros formalismos están naturalmente relacionados con la versión de cuaterniones, por lo que las personas tienden a gravitar hacia la versión de cuaterniones. Una versión que está estrechamente relacionada con los cuaterniones sería usar el mapa exponencial para el grupo de unidades de cuaterniones. Pero este también tiene “gimbal lock” pero de otro tipo. Pero tiene una interpretación bastante atractiva como rotaciones sobre un eje arbitrario; esto quizás sea más útil si solo está interesado en rotaciones que difieren de la matriz de identidad (o alguna matriz dada) en una pequeña cantidad, son muy naturales. coordenadas en “pequeñas escalas” en $SO_3$.
¿Hay alguna propiedad especial que le gustaría para las coordenadas en $SO_3$? Eso podría dar una idea de a dónde quieres llegar con esto.
Editar en respuesta al primer comentario: hay varias convenciones para los ángulos de Euler. Usemos lo que Wikipedia llama “Ángulos propios de Euler” http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles
Dado un vector unitario $vecvinmathbb R^3$ y un numero $thetainmathbb R$dejar $R_vec v, theta$ sea la matriz de rotación que fija $vecv$ y que gira en sentido antihorario un ángulo $theta$ en el plano ortogonal a $vecv$. Una versión de los “ángulos propios de Euler” sería:
$$R_(1,0,0), theta_1 R_(0,1,0), theta_2 R_(1,0,0), theta_3$$
La variante “Tait-Bryan” usaría los tres vectores distintos, observe que arriba solo usamos los vectores estándar para el plano xy. La variante Tait-Bryan es la adecuada para el cabeceo/balanceo/guiñada de un avión. Wikipedia tiene una imagen excelente:
En este caso tendrías
$$R_(1,0,0),theta_1 R_(0,1,0), theta_2 R_(0,0,1),theta_3 $$
$theta_3$ sería el rollo, $theta_2$ la cancha y $theta_1$ la guiñada Para relacionar mis coordenadas con la imagen, $(1,0,0)$ es la dirección a la que apunta el avión. $(0,1,0)$ es la dirección del ala izquierda. $(0,0,1)$ es la dirección del eje amarillo que sobresale de la parte superior del plano.
Puede escribir las matrices de forma bastante explícita:
$$ R_(1,0,0), theta = pmatrix 1 & 0 & 0 cr 0 & cos theta & -sin theta cr 0 & sin theta & cos theta $$
Entonces, en este caso, una ocurrencia de “bloqueo de cardán” es $theta_2 = 0$. En la variante de Tait-Bryan, sería cuando el avión apunta hacia arriba o hacia abajo, lo cual es $theta_2 = pmpi/2$.
Esto se refiere a la respuesta de Ryan, pero fue demasiado larga para un comentario.
Yo también me estaba confundiendo por un tiempo, pero creo que ahora entiendo. Para evitar malentendidos, los ángulos Tait-Bryan deben llamarse rumbo/elevación/ladeo en lugar de guiñada/cabeceo/balanceo. El ángulo de rumbo se refiere a las rotaciones sobre el eje $z$ en el espacio, no sobre el eje de guiñada que, por definición, es perpendicular al “cuerpo-ala-plano” del avión, por lo que “excelente imagen” es de hecho un poco engañosa en este contexto. El bloqueo de cardán ilustrado en Wikipedia ocurre cuando el avión apunta directamente hacia arriba o hacia abajo (elevación = 90 grados), por lo que cambiar el banco es lo mismo que cambiar el rumbo. (Es decir, momentáneamente no hay manera de cambiar la guiñada manipulando los ángulos de rumbo/elevación/banqueo!)
Si solo te importa el principio y el final, puedes expresar cualquier rotación con los ángulos de Euler. Pero si desea una transición suave entre el principio y el final, entonces con algunas orientaciones iniciales, tiene un problema, y esto se llama bloqueo de cardán.
Por ejemplo, aquí comenzamos desde (x,y,z) = (1,0,0) y simultáneamente giramos a la izquierda y elevamos el cabeceo en pasos de 5 grados, hasta que ambos alcanzan los 45 grados. Los puntos negros se mueven sobre la superficie de la esfera unitaria. (Roll podría ser lo que sea, no se puede ver ya que solo estoy trazando puntos).
Pero digamos que comenzamos desde una posición que apunta directamente hacia arriba, por lo que nuestro objeto apunta a (x,y,z) = (0,0,1) y queremos girarlo hacia abajo alrededor del eje x 45 grados. Ahora tenemos que girar la guiñada (o el rumbo) 90 grados y bajar el cabeceo 45 grados (y quizás alabear -90 grados, dependiendo de la orientación que queramos, pero mis puntos no pueden ilustrar esto).
Ahora, si hacemos las transformaciones de guiñada y cabeceo simultáneamente:
(guiñada=0, cabeceo=0), (guiñada=5, cabeceo=-5), (guiñada=10, cabeceo=-10), …
obtenemos los puntos negros en la figura a continuación, mientras que una línea recta de 5 grados gira alrededor del eje x se traza con los puntos blancos. Todavía podemos llegar al mismo punto final, pero no podemos comenzar a girar directamente en la dirección “correcta” o “recta”.
Podría redefinir los ángulos de Euler para que la primera rotación no sea alrededor del eje z, sino alrededor del eje x, y luego esta situación podría remediarse. Pero luego podría ocurrir un problema similar con un objeto que inicialmente apunta a la dirección x. Independientemente de cómo reordene las tres rotaciones de Euler, siempre hay alguna orientación desde la cual no puede comenzar a girar directamente en una dirección determinada.
Aquí también hay un video de Youtube sobre el tema.
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