Solución:
No encontré una manera de hacerlo de manera confiable sin una aplicación.
A menudo uso OpenDNS Family Shield, pero a veces me bloquea para visitar algún sitio de piratería en particular y luego necesito cambiar rápida y fácilmente los servidores DNS.
Solía usar Set DNS pero dejó de funcionar en Android 4.3 y más, así que creé Override DNS, una nueva aplicación que imita el comportamiento de Set DNS, pero está actualizada para funcionar incluso en Lollipop. También tiene alguna otra característica agradable, como una protección con PIN y un filtro SSID de Wi-Fi.
La única manera que puedo ver para hacerlo sin una aplicación es algo como un iptables regla para redirigir cualquier tráfico que vaya a udp / 53 a alguna otra ip. Un procedimiento similar se muestra en un hilo de XDA.
Pego aqui el iptables reglas de integridad (no las probé)
$IPTABLES -t nat -D OUTPUT -p tcp --dport 53 -j DNAT --to-destination 208.67.222.222:53 || true
$IPTABLES -t nat -D OUTPUT -p udp --dport 53 -j DNAT --to-destination 208.67.222.222:53 || true
$IPTABLES -t nat -I OUTPUT -p tcp --dport 53 -j DNAT --to-destination 208.67.222.222:53
$IPTABLES -t nat -I OUTPUT -p udp --dport 53 -j DNAT --to-destination 208.67.222.222:53
Todo lo dirigido desde el dispositivo Android a cualquier IP, puerto UDP y TCP 53 se redirige a 208.67.222.222 que es uno de los servidores DNS de OpenDNS.
Estos comandos deben colocarse en un script que se ejecuta en cada inicio de dispositivo. Esa funcionalidad depende de su ROM específica. No sé si se puede hacer algo similar en una ROM estándar sin usar una aplicación. Override DNS también resuelve este problema.
A partir de Android 9 Pie, es posible cambiar DNS globalmente, siempre que sean compatibles con TLS. Solo entra
Settings → Network & internet → Advanced → Private DNS
Esta información es de 2014. Pero aún podría funcionar. No estoy en condiciones de probarlo en este momento, pero ya que estás arraigado. Puede intentar agregar la configuración de dns al archivo build.prop y ver si se pega. Agregar lo siguiente al archivo build.prop debería agregar google como su servidor DNS.
net.rmnet0.dns1=8.8.8.8 net.rmnet0.dns2=8.8.4.4 net.dns1=8.8.8.8 net.dns2=8.8.4.4
Tomado de esta publicación en los foros de Nexus 5 en XDA. Esa publicación se puede encontrar aquí. El artículo número 21 es la configuración de DNS.