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Análogo del teorema ergódico de Birkhoff para la secuencia de cuadrados

Contamos con el hallazgo a esta inconveniente, o por lo menos eso creemos. Si sigues con dudas dínoslo y sin dudarlo te responderemos

Solución:

No – la secuencia de cuadrados es universalmente malo lo cual fue probado por Buczolich y Mauldin. Citaré la revisión de Tom Ward de su artículo. Promedios cuadrados divergentes, Ana. de Matemáticas. (2) 171 (2010), n. 3, 1479–1530.

Una consecuencia del trabajo de J. Bourgain [Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 69 (1989), 5–45; MR1019960] es un teorema ergódico a lo largo de cuadrados, respondiendo preguntas anteriores de Bellow y Furstenberg: Si $(X,matemáticas B,T,mu)$ es un sistema que conserva la medida, entonces los promedios ergódicos no convencionales
$$ frac1N sum_n=0^N-1 f(T^n^2 x) $$
convergen en casi todas partes para $fen L^p$ con $p>1$. Aquí se da una respuesta integral -y negativa- a su pregunta de si el resultado se extiende a todos $L^1$. Los autores muestran que la secuencia $(n^2)$ es universalmente malo: para cualquier sistema ergódico que conserva la medida hay una función $fen L^1$ para los cuales los promedios anteriores no convergen como $Nainfty$ por $x$ en un conjunto de medida positiva.

PS El teorema de Birkhoff no no aplicar a su “caso particular” ya que requiere la presencia de un finito medida invariante.

Si $X=matemáticasZ$, $mu$ es la medida de conteo, y $T$ es el operador de desplazamiento dado por $Tf(x)=f(x+1)$entonces para todos los reales $pge1$, $finell^p(mathbbZ)$y $xinmathbbZ$por la desigualdad de Hölder,
$$ |mathcalA_N f(x)|le frac1N,sum_n=0^N|f(x+n^2)| lefrac1N,|f|_p,(N+1)^1-1/pto0 $$
y por lo tanto $mathcalA_N f(x)to0$ como $Nainfty$.

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