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Solución:
Aquí hay una manera fácil de contar el número de rectángulos. Hay líneas horizontales de $9$ en el tablero de ajedrez y líneas verticales de $9$. Elija dos líneas horizontales distintas y dos líneas verticales distintas. Estos determinan un único rectángulo. Y cualquier rectángulo determina un par de líneas horizontales y un par de líneas verticales.
Entonces, el número de rectángulos es $binom92^2$. Eso es $ 1296 $.
Se puede usar exactamente la misma idea para contar el número de rectángulos en un tablero de ajedrez de $m$ por $n$. Es $$binomm+12binomn+12.$$
El número de cuadrados es un poco menos agradable. Es fácil ver que hay $8^2$ pequeños $1times 1$ cuadrados, $7^2$ $2times 2$ cuadrados, y así sucesivamente hasta $1^2$ $1times 1$ cuadrados, para un total de $$1^2+2^2+3^2+cdots+8^2.$$ Ahora podemos sumar, pero también hay una fórmula simple para la suma de los primeros $n$ cuadrados. La misma idea funciona para contar los cuadrados en un tablero de ajedrez $n times n$.
Si miras un tablero de ajedrez ($n = 8$), hay
- 1 cuadrado de tamaño 8×8
- 4 cuadrados de tamaño 7×7
- 9 cuadrados de tamaño 6×6
- y así sucesivamente hasta
- 64 cuadrados de tamaño 1×1
Entonces, en realidad, la fórmula se reduce a la suma $sum_i=1^ni^2$, que se puede derivar como se muestra en las respuestas aquí. Consulte también un enfoque combinatorio para adaptarse mejor a su pregunta.
Para los rectángulos, tenga en cuenta que para un tablero de ajedrez $n times m$, hay $n+1$ líneas que forman las filas y $m+1$ líneas que forman las columnas. Un rectángulo estará delimitado por dos de estas filas y dos de estas columnas, por lo que el número de rectángulos viene dado por:
$R(n,m) = binomn+12binomm+12$
Tenga en cuenta que la fórmula se generaliza para cualquier tablero de ajedrez rectangular, no solo uno cuadrado.
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