este problema se puede solucionar de diversas formas, por lo tanto te dejamos la solución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Arregle una triangulación $ T = (t_i) _ i = 0 ^ N $ de la superficie $ S $. Un arco $ alpha $ incrustado en un triángulo $ t_i $ es normal si los dos puntos $ parcial alpha $ se encuentran en bordes distintos de $ t_i $. Un solo triángulo $ t_i $ admite tres arcos normales diferentes (hasta isotopía).
Una curva cerrada simple $ alpha subset S $ es normal con respecto a $ T $ si y solo si $ alpha cap t_i $ es una colección de arcos normales para cada $ i $. Ejercicio: cada curva simple esencial puede isótoparse para que sea normal. Podemos reemplazar cualquier curva normal por un vector de longitud $ 3N $ contando el número de cada tipo de arco normal. Estos vectores tienen entradas enteras no negativas y satisfacen ciertas “ecuaciones de coincidencia”. A la inversa, cualquier vector de este tipo representa una multicurva cerrada simple. (¡Tenga en cuenta que una sola clase de curva isotópica puede tener muchas representaciones diferentes como una curva normal!)
Las ecuaciones coincidentes cortan un cono de la ortante positiva. Por lo tanto, para enumerar todas las curvas hasta una longitud fija (donde aquí cuento el número de arcos normales como la longitud) es suficiente encontrar una base de Hilbert para este cono y tomar todas las combinaciones hasta un tamaño fijo, y así sucesivamente, y así sobre.
El resultado es un algoritmo que enumera todas las curvas cerradas simples esenciales hasta la longitud $ N $ en el polinomio de tiempo en $ N $. Sin embargo, el cálculo previo (de la base de Hilbert para el cono, etc.) no es una broma.
Puede encontrar una discusión a partir de la página 13 de las notas de Cameron Gordon para un curso sobre superficies normales en tres variedades. Terminaré con una observación: en el caso del toro (una vez perforado) puedes salirte con la tuya con exactamente dos triángulos, el cono es muy simple, la base es muy bonita y todo se puede hacer a mano. (De hecho, de esta manera, puede redescubrir por sí mismo la clasificación de las curvas cerradas simples en el toro).
Editar: agregaré un comentario más. Está representando curvas en la superficie a través de “secuencias de corte” que están muy relacionadas con la escritura de palabras en términos del grupo fundamental. Al trabajar con simple curvas (y la simplicidad es crucial aquí) puede ser exponencialmente más eficiente usar las “coordenadas normales” que describí. Son muy similares a las coordenadas de la “vía del tren” de Thurston para curvas cerradas simples. Hay una tercera forma de representar curvas simples: fije una pequeña colección de curvas (es decir, las curvas muy cortas) y luego actúe sobre las del grupo de clases de mapeo de la superficie, generadas por los giros de Dehn (digamos). Estas “coordenadas de grupo de clases de mapeo” pueden volver a ser exponencialmente más eficientes que el uso de secuencias de corte.