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Solución:
Una clase de gráficos para los que muchos problemas NP-difíciles (incluido encontrar un ciclo hamiltoniano) son fáciles (tiempo lineal) son los gráficos de ancho de árbol acotado. De hecho, por el teorema de Courcelle, cualquier problema que pueda expresarse en cierta lógica llamada lógica monádica de segundo orden ($MSO_2$) se puede resolver en tiempo lineal en la clase de gráficos de ancho de árbol como máximo $k$ (para cualquier $k$ fijo).
Para su pregunta específica, para un subconjunto $F$ de aristas de un gráfico $G$, es bastante sencillo codificar en $MSO_2$ la propiedad de que $F$ está conectado y también es fácil expresar la propiedad de que cada vértice de $G$ incide exactamente en dos aristas en $F$. Tomando la conjunción de estas propiedades se obtiene la propiedad de que $F$ es un ciclo hamiltoniano.
No estoy seguro de que su reducción al ciclo de Euler esté completa.
Según wikipedia
Si un gráfico G tiene un ciclo de Euler, es decir, si G es conexo y tiene un número par de aristas en cada vértice, entonces el gráfico lineal de G es hamiltoniano. (Sin embargo, no todos los ciclos hamiltonianos en gráficos lineales provienen de ciclos de Euler de esta manera).
esto aparece si y si para mí y $G$ pueden ser no eulerianos, mientras que $L(G)$ puede tener ciclos hamiltonianos por diferentes razones.
Adicional
Un papel afirma:
Se muestra que la existencia de un ciclo de Hamilton en el gráfico lineal de un gráfico G se puede asegurar imponiendo ciertas restricciones a ciertos subgráficos inducidos de G.
De hecho, se puede demostrar que el ciclo hamiltoniano sigue siendo $mathsfNP$-hard incluso para una subclase muy restringida de gráficos lineales: gráficos lineales de $1$-subdivisiones de gráficos bipartitos cúbicos planos. Estas gráficas son cúbicas. No es sorprendente que lo mismo se mantenga si pasamos a $4$-gráficos lineales regulares: el ciclo hamiltoniano sigue siendo $mathsfNP$-difícil para gráficos lineales de gráficos bipartitos cúbicos planos.
Ambos resultados se pueden obtener mediante reducciones del ciclo hamiltoniano restringidas a gráficos bipartitos cúbicos planos:
T. Akiyama, T. Nishizeki, N. Saito, NP-Completeness of the Hamiltonian Cycle Problem for Bipartite Graphs, Journal of Information Processing 3 (1980) 73-76.
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