Solución:
Es poco convencional en el sentido de que trabaja principalmente con listas, en contraposición a conjuntos (un ajuste menor que hace que ciertas demostraciones, como el teorema espectral complejo, sean más fáciles) y evita los determinantes hasta el final. Además, al desarrollar la teoría de las transformaciones lineales primero, luego sobre las matrices, realmente enfatiza un pensamiento clave a tener en cuenta con el álgebra lineal: Piense en términos de transformaciones lineales, calcule con matrices. Es un libro muy bueno y fácil de seguir. E incluso cuando se salta algunos pasos, dice explícitamente: “Me estoy saltando pasos aquí, deberías hacerlo” para que no te sientas perdido.
Mi opinión
Después de leer la tercera edición completa del libro de Axler, me gustaría decir que la respuesta a su pregunta es:
Este libro definitivamente vale la pena leerlo, ¡pero no es absolutamente bueno para un principiante!
Razones
$ 1 $. ¡Axler prefiere escribir pruebas con palabras en lugar de ecuaciones! Quiero decir que le gusta usar palabras y la mente de lector en lugar de escribirlo. Como ejemplo, vea esta publicación. Esto puede resultar un poco molesto para algunos principiantes o para aquellos que prefieren ecuaciones detalladas en lugar de palabras. Además, esto puede hacer que te sientas perdido en algunos lugares cuando esta tradición se combina con los errores tipográficos en la prueba (¡como hice yo)! Sin embargo, ¡podría decir que también hay pruebas realmente elegantes en el libro!
$ 2 $. El libro de Axler es diferente en la mayoría de los aspectos de todos los libros sobre álgebra lineal, por lo que puede causarle confusión cuando quiera echar un vistazo a otros recursos para repasar o aprender algunos temas. Sin embargo, en la mayoría de los casos menciona las diferencias. Una de las diferencias que no se mencionan en el texto (pero que se menciona en el prefacio del instructor) es la definición de polinomios.
$ 3 $. El material me resulta un poco insuficiente. ¡No se incluye ningún tema sobre formas multilineales y productos tensoriales! ¡No se hacen ejemplos ni discusiones para espacios vectoriales sobre campos finitos! En el libro no se hace énfasis en estructuras algebraicas como campos, módulos, anillos, grupos y álgebras que uno debería conocer en un libro teórico. Además, algunos conceptos importantes como el doble espacio dual no están en el texto y solo se incluyen algunos ejercicios para ellos. Además, ¡no hay nada sobre la matriz inversa de un operador en el libro! Peor aún es que no te acostumbras a trabajar con matrices y ecuaciones algebraicas lineales en este libro. Me refiero a común, sin eliminación gaussiana, sin LU y descomposiciones relacionadas. Aunque se menciona el procedimiento de Gram-Schmidt, pero su descomposición relevante, no se aborda la descomposición QR. En general, ¡el libro no ofrece tantas imágenes de matrices! Tengo entendido que Axler está poniendo tanto énfasis en la abstracción del concepto de espacio vectorial; sin embargo, estas imágenes realmente te ayudarán a tener en cuenta las ideas y ¡tendrás algunos ejemplos para ti!
$ 4 $. ¡Además, todavía no hay un manual de solución del libro! Así que está solo cuando se trata de ejercicios. Pero yo diría que hay buenos ejercicios en el libro, así que asegúrese de mirarlos mientras lee el libro.
Conclusión
Finalmente, aquí están mis sugerencias. Dependiendo de tus necesidades, si quieres estudiar teoría más que aplicaciones, lee Hoffman / Kunze de una vez por todas para cerrar el caso del álgebra lineal. Creo que esta es la mejor opción para un principiante. Este libro le enseñará el tema mediante un pensamiento algebrista. Si desea obtener algunos pensamientos de los analistas, la última parte de HalmosLa obra maestra de Hoffman / Kunze es un buen complemento y lo preparará para estudiar análisis funcional más adelante. Si desea un buen libro de texto que enfatice la aplicación y trabaje mucho con matrices profundizando en la teoría, lea Strang. los StrangEl libro es un compañero perfecto para cualquier teórico libro. Después de leer uno de estos libros, es divertido repasar Axler ‘s Álgebra lineal bien hecha para ver cómo se puede representar la teoría de una manera diferente. El libro de Axler tiene el potencial de ser el mejor libro de álgebra lineal de todos los tiempos; sin embargo, ¡todavía necesita mucho pulido y ediciones!
Una breve reseña de Álgebra lineal bien hecha, tercera edición
Mi pasado: En la segunda mitad de mi nuevo año, usamos la segunda edición de este libro en nuestro primero (y único) curso de álgebra lineal. (Soy un estudiante de economía en China, y todo está programado, ya sabes…) Anteriormente no tenía ningún conocimiento sobre álgebra lineal, ni sabía nada sobre pruebas matemáticas rigurosas. Así que al principio estaba un poco confundido, pero al mismo tiempo muy impresionado por el nuevo mundo de fantasía que se me abrió: el rigor, las pruebas, las abstracciones. Más tarde, a medida que avanzaba el curso y continuaba leyendo el libro, pude comprender cada vez mejor y disfrutar el libro aún más. Después del curso, terminé los capítulos restantes sin tocar en clase. Cuando el $ 3 $La primera edición llegó en el invierno de 2014-2015, la compré en Amazon y la hojeé una y otra vez. Para mí, esta obra maestra es la más profundamente respetada y querida, porque allí comenzó todo mi viaje hacia el maravilloso mundo de las matemáticas puras.
¿Qué hay en este libro?
Álgebra lineal bien hecha es un libro de teoria. Se centra en la construcción de la teoría del álgebra lineal utilizando pruebas rigurosas y en la comprensión de la estructura de los espacios vectoriales y los mapas lineales. Como libro de texto dirigido a estudiantes universitarios, también tiene como objetivo aumentar la madurez matemática y permitir que uno aprecie la belleza del tema. Los principales objetos de discusión son los mapas lineales y los operadores lineales (que son independientes de las coordenadas), no los detalles y técnicas específicos sobre matrices. Consulte el contenido de este libro en Amazonas.
¿Por qué debería uno elegir un libro de teoría para un primer encuentro con el álgebra lineal?
El álgebra lineal es fundamental en matemáticas puras, matemáticas aplicadas y en casi todos los campos científicos y de ingeniería. Para las matemáticas puras, es un componente básico en el análisis funcional, PDE, geometría diferencial, geometría algebraica y teoría de la representación, solo por nombrar algunos; si se dedica a la ciencia de datos, las matrices serán su herramienta básica; Si trabaja en economía o ingeniería, entonces un amigo cercano suyo es la optimización, que utiliza el álgebra lineal de forma intensiva. En todos los casos, dando la importancia del tema, dando que vivirás con él, lo verás y lo usarás por mucho tiempo, quieres tener un temprano comprensión profunda del sujeto. Una vez que haya dominado la teoría, es mucho más fácil comprender la materia aplicada posterior si la necesita. No importa lo que hagas en el futuro, una formación teórica puede ser de gran ayuda: si vas a hacer matemáticas puras, probablemente no necesites demasiados detalles (como varios criterios para que una matriz sea semidefinida negativa), pero sin una verdadera comprensión del tema, el estudio de las teorías cada vez más abstractas en matemáticas puras sería inestable. Por otro lado, si va a utilizar el álgebra lineal como herramienta para el modelado y los cálculos, entonces estará tratando con aspectos (muy) específicos de las matrices. La teoría le ayuda a navegar a través de esos detalles, sin dejar que se pierda en ellos. (Por cierto, incluso si eliges un libro de texto más tradicional como primer aprendizaje, probablemente no verás todos los resultados bastante sofisticados que necesitas para la investigación, ni quieres profundizar en los detalles demasiado pronto; también tienes esperar un segundo aprendizaje)
Dicho esto, es cierto que uno no debe rehuir el determinante; a menudo está desmotivado, pero eso no significa que debamos abandonarlo. Entonces, la mejor combinación sería: primero revise Álgebra lineal bien hecha tener una base teórica firme, y luego leer un libro de texto más tradicional para las partes que faltan. Para aquellos con mentalidad matemática, recomiendo Michael Artin’s Álgebra. Para los más aplicados, las recomendaciones de otros carteles están bien. También sugiero humildemente mis propias notas sobre formas bilineales. Dado que ya ha pasado por la teoría dura, leer esos libros y notas debería ser rápido y fácil.
¿Cuál es la característica de este libro?
Perfeccionismo, elegancia y belleza extrema. Cualquiera que lea este libro descubrirá cómo el autor se ha esforzado mucho en perfeccionar cada detalle: cada prueba ha sido escudriñada y pulida una y otra vez, para hacerlas lo más elegantes posible; cada ejemplo ha sido considerado y cuidadosamente seleccionado; la disposición de los materiales es ordenada y compacta, sin desperdicio de palabras; los $ 3 $La rd edición presenta un formato lujosamente hermoso, como el uso de colores y recuadros, lo cual es raro entre los libros de teoría. También me gustaría mencionar que cada El teorema de este libro tiene un nombre descriptivo. Por ejemplo, vea este teorema en la página $ 281 $ del libro:
$ 9.16 $ Autovalores no reales de $ T _ { mathbb {C}} $ vienen en parejas
Suponer $ V $ es un espacio vectorial real, $ T in mathcal {L} (V) $, y $ lambda in mathbb {C} $.Luego $ lambda $ es un valor propio de $ T _ { mathbb {C}} $ si y solo si $ bar { lambda} $ es un valor propio de $ T _ { mathbb {C}} $.
Aquí $ T _ { mathbb {C}} $ es la complejidad de $ T $. De esta manera, los hechos clave son mucho más fáciles de recordar. Y lo más importante es que los lectores sepan de qué trata cada teorema. Compare este estilo con algunos libros notoriamente abstractos y concisos, donde el lector a veces puede no tener idea de lo que está hablando el autor.
Crítica
Para ser más neutral, permítanme incluir aquí alguna voz del otro lado. Recientemente vi una reseña de un libro para Álgebra lineal bien hecha sobre The American Mathematical Monthly, que es en gran medida negativo:
Leslie Hogben, Trabajo revisado: Álgebra lineal bien hecha, tercera edición. Por Sheldon Axler. The American Mathematical Monthly Vol. 123, núm. 6 (junio-julio de 2016), págs. 621-624
El artículo decía que el libro contiene materiales insuficientes para un segundo curso de álgebra lineal y concluía que es más adecuado como libro de texto para un primer curso desafiante. Bueno, estoy de acuerdo en esto. Estoy de acuerdo en que el libro se usa mejor en un primer curso desafiante y exigente de álgebra lineal, como he hablado antes.
Conclusión
Nunca he visto a un autor de libros de texto que sea tan entusiasta y considerado con la audiencia. (He visto a muchos autores que son reacios a tomarse el tiempo y el esfuerzo para considerar las cuestiones pedagógicas, y su “agitar las manos” a menudo deja el dolor al lector). El libro es brillante, sobresaliente y bien conocido, como ha sido ampliamente adoptado en muchas universidades de todo el mundo. Sin embargo, es exigente al mismo tiempo, ya que constantemente lo impulsa hacia una alta madurez matemática. Incluso si no planea tomar un camino poco ortodoxo y desafiante, este raro tesoro intelectual es todavía vale la pena verlo, por su impresión y disfrute inolvidables.