Buscamos en el mundo online para regalarte la solución para tu inquietud, si continúas con alguna difcultad puedes dejarnos la pregunta y te respondemos porque estamos para ayudarte.
Solución:
El cono cuadrático es el cociente de $mathbbA^2 = mathrmEspecificación(mathbbC[u,v]ps por la involución $iota colon (u,v) mapsto (-u,-v)$. Como consecuencia,
$$ Gamma(mathbbA^2/iota, mathcalO) = Gamma(mathbbA^2, mathcalO)^iota = left( bigoplus V_n right)^iota = bigoplus V_2m $$
ya que $iota$ actúa sobre $V_n$ por $(-1)^n$.
El anillo $BbbC[x,y,z]/(xy-z^2)$ es $Bbb N$-calificado porque $xy-z^2$ es homogéneo. Su $m$-th componente tiene dimensión $ 2 millones + 1 $porque una base está dada por $ x^ay^b mid a+b=m cup x^ay^bz mid a+b=m-1 $.
Es fácil ver que la representación es irreductible (supongo que la acción es la acción adjunta de $SU(2)$ en $mathfraksu(2) otimes Bbb C cong Bbb C^3$) dando los resultados desde $V_2 millones$ es la única representación irreducible de $SU(2)$ con dimensión $ 2 millones + 1 $.
Aplicar el teorema de Borel-Weil al grupo de Lie $G=rm SL_2(mathbb C)$con borel $B$la complejización de $rm SU(2)$. La variedad de bandera $G/B=mathbb P^1$y tenemos $V_m=Gamma(mathbb P^1, mathcal O_mathbb P^1(m))$. Por otra parte, $X$ se acabó el cono $mathbb P^1subconjunto mathbb P^2$ incrustado por $mathcal O_mathbb P^1(2)$. Asi que
$Gamma(X,mathcal O_X)=bigoplus Gamma(mathbb P^1, mathcal O_mathbb P^1(2m))=bigoplus V_ 2 millones$.
Eres capaz de apoyar nuestra faena poniendo un comentario y puntuándolo te lo agradecemos.